A sötétlila terület az A mínusz B A különbség a halmazelmélet egy kétváltozós művelete , ami két halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az első halmaz elemei közül pontosan azokat tartalmazza, melyeket a második nem.
Definíció és jelölés Ha A {\displaystyle A} és B {\displaystyle B} halmazok, akkor az A {\displaystyle A} és B {\displaystyle B} különbségének nevezzük és A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} (szóban: „á különbség bé”, vagy „á mínusz bé”) módon jelöljük az A {\displaystyle A} halmaz azon elemeinek összességét, melyek nem elemei B {\displaystyle B} -nek. Ezt szimbolikusan így írjuk: A ∖ B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B } . {\displaystyle A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}.}
Példák {1,2,3} \ {2,3,4} = {1} {2,3,4} \ {1,2,3} = {4} Ha a valós számok R {\displaystyle \mathbb {R} } halmazából kivonjuk a racionális számok Q {\displaystyle \mathbb {Q} } halmazát, akkor eredményül megkapjuk az irracionális számok Q ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}} halmazát, vagyis R ∖ Q = Q ∗ {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{*}} .
Tulajdonságok Ha az U {\displaystyle U} univerzumban (másként az alaphalmazban) A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} és C {\displaystyle C} halmazok, akkor igazak a következők:
Ha az A ≠ B {\displaystyle A\neq B} , akkor a különbségképzés nem kommutatív : A ∖ B ≠ B ∖ A {\displaystyle A\setminus B\neq B\setminus A} . Ha A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B\,\!} , akkor A ∖ B = ∅ {\displaystyle A\setminus B=\emptyset } . A ∖ A = ∅ {\displaystyle A\setminus A=\emptyset } ∅ ∖ A = ∅ {\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset } A ∖ U = ∅ {\displaystyle A\setminus U=\emptyset \,\!} A ∖ ∅ = A {\displaystyle A\setminus \emptyset =A} U ∖ A = A c {\displaystyle U\setminus A=A^{c}\,\!} A ∖ B = A ∩ B c = ( A c ∪ B ) c {\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}\,\!=(A^{c}\cup B)^{c}} és ( A ∖ B ) c = A c ∪ B {\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B} Továbbá
C ∖ ( A ∩ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)\,\!} C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∩ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)\,\!} C ∖ ( B ∖ A ) = ( A ∩ C ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)\,\!} ( B ∖ A ) ∩ C = ( B ∩ C ) ∖ A = B ∩ ( C ∖ A ) {\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)\,\!} ( B ∖ A ) ∪ C = ( B ∪ C ) ∖ ( A ∖ C ) {\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)\,\!}
Kapcsolódó szócikkek
Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai