Kétmintás t-próba

A kétmintás t-próba azt vizsgálja, hogy két külön mintában egy-egy valószínűségi változó átlagai egymástól szignifikánsan különböznek-e.

További lehetőséget nyújt ez a próba arra vonatkozóan, hogy két vizsgált eloszlás egyesíthető-e; azaz: feltételezhető-e, hogy azonos eloszlásból származnak.

A próba alkalmazásának feltételei

a vizsgált valószínűségi változók

normális eloszlásúak
intervallum vagy arányskálán mértek
szórásai megegyeznek (ám a kétmintás u-próbától eltérően itt nem kell ismernünk az elméleti értéküket, elegendő becsülnünk a minták alapján)
függetlenek

A próba nullhipotézise

Nullhipotézis: a két vizsgált változó átlaga statisztikai szempontból megegyezik.

Alternatív hipotézis: a két vizsgált változó átlaga statisztikai szempontból nem egyezik meg.

A "statisztikai szempontból" kifejezés itt arra utal, hogy az eltérés a két átlag között olyan minimális, hogy pusztán csak a véletlen ingadozásnak tulajdonítható (ekkor a két átlag statisztikai szempontból azonosnak tekinthető), vagy jelentősen nagyobb, mint ami a véletlennel magyarázható (ekkor a két átlag statisztikai szempontból nem tekinthető azonosnak).

Valójában a fenti két hipotézis precíz matematikai megfogalmazása a következő.

H₀: Az X és Y valószínűségi változók várható értékei megegyeznek, (E(X) = E(Y)).
H₁: Az X és Y valószínűségi változók várható értékei nem egyeznek meg, (E(X) ≠ E(Y)).

A próbastatisztika

A kétmintás t-próba próbastatisztikája

t={\frac {{\overline {x}}-{\overline {y}}}{\sqrt {(n-1){s_{x}^{*}}^{2}+(m-1){s_{y}^{*}}^{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {nm(n+m-2)}{n+m}}}

ahol

${\overline {x}}$ az egyik valószínűségi változó átlaga a mintájában,
${\overline {y}}$ a másik valószínűségi változó átlaga a mintájában,
s_x^* az egyik valószínűségi változó korrigált szórása,
s_y^* a másik valószínűségi változó korrigált szórása,
n az egyik minta elemszáma és
m a másik minta elemszáma.

A próba végrehajtásának lépései

A próba alkalmazhatóságának feltétele a szórások egyezése, amit külön statisztikai próba, az F-próba segítségével ellenőrzünk. Csak akkor alkalmazhatjuk a kétmintás t-próbát ha az F-próba a szórások között szignifikáns különbséget nem tud kimutatni. Ha szignifikáns különbséget mutat ki, akkor a kétmintás t-próbát nem lehet alkalmazni, de helyette alkalmazható az ugyanezt a nullhipotézist vizsgáló Welch-próba, ami nem igényli a szórások egyezését.
Az t próbastatisztika értékének kiszámítása.
A p szignifikanciaszint megválasztása. (Ez a legtöbb vizsgálat esetén 0,05 vagy 0,01.)
A p szignifikanciaszinttől függő t_p érték kiválasztása a próbának megfelelő táblázatból. A táblázat jelen esetben a t-eloszlás táblázata, mely eloszlásra szoktak úgy is utalni, mint Student-eloszlás, illetve Student-féle t-eloszlás. A táblázat kétdimenziós, a p szignifikanciaszint és az f szabadsági fok ismeretében azonnal megkapjuk a táblázatbeli t_p értéket. Az f szabadsági fokot a kétmintás t-próba esetén az f = n + m – 2 képlettel számítjuk.^{[* 1]}
A nullhipotézisre vonatkozó döntés meghozása.
- Ha |t| ≥ t_p, akkor a nullhipotézist elvetjük, az alternatív hipotézist tartjuk meg, és az eredményt úgy interpretáljuk, hogy a két mintában a valószínűségi változók átlagai szignifikánsan eltérnek egymástól (p szignifikanciaszint mellett).
- Ha |t| < t_p, akkor a nullhipotézist megtartjuk, amit úgy interpretálunk, hogy a kétmintás t-próba nem mutat ki szignifikáns különbséget a két mintában a valószínűségi változók átlagai között (p szignifikanciaszint mellett).

Példa

Biológusok egy vizsgálatban azzal a feltételezéssel élnek, hogy a sivatagi iramszarvas számára kedvezőbb életkörülményeket jelent ha van lehetőségük hűs vízben lubickolni, amikor csak kedvük tartja, mint ha ugyanerre nincs lehetőségük. Ennek a hipotézisnek a tesztelésére 19 iramszarvast különítenek el egy hatalmas csordából, és két csoportba sorolják be őket. Az egyik csoportba 8 a másikba 11 egyed kerül. A két csoport egyedeit minden életfeltétel tekintetében azonos körülmények között tartják, attól eltekintve, hogy az egyik csoportnak rendelkezésére áll egy kellemes kis medence is, melyben bármikor fürdőzhetnek, a másiknak pedig nem.^{[* 2]} Három hónapnyi elkülönítés után a sivatagi iramszarvasok súlyát lemérik. Azzal a feltételezéssel élnek, hogy a medence mellett tartott szarvasok testsúlya jobban gyarapodott, mint a másik csoporté. (Köztudott, hogy a sivatagi iramszarvasok erőnlétének egyik legpontosabb jelzője a testsúlyuk: a súlyosabb iramszarvasok mindig egészségesebbek és erősebbek.)

A medencés csoport szarvasainak testsúlya (tömege) kg-ban:

52; 57; 62; 55; 64; 57; 56; 55.

A medencét nélkülöző csoport szarvasainak testsúlya (tömege) kg-ban:

41; 34; 33; 36; 40; 25; 31; 37; 34; 30; 38.

Arra kíváncsiak a biológus kutatók, hogy a két csoport átlagos testtömege közötti különbség szignifikánsan nagynak mondható, vagy nem nagyobb annál, mint amit a puszta véletlennel is magyarázni lehet. Felteszik, hogy a szarvasok testtömege normális eloszlást követ. Ez – bár igen reálisnak hangzik – ellenőrizhető más statisztikai próbákkal, úgynevezett normalitásvizsgálatokkal. Az átlagsúlyok összehasonlítására kétmintás t-próbát alkalmaznak.

Első lépésben ellenőrzik, hogy a két mintában a testtömeg szórása azonosnak tekinthető-e. Erre F-próbát alkalmaznak, amely nem mutat ki szignifikáns különbséget a szórások között (ld. F-próba példája), így a kétmintás t-próbát kell alkalmaznunk. Az F-próbához is a korrigált szórások négyzetét kell kiszámítani, ami ebben a két mintában s_x^*² = 15,36, és s_y^*² = 21,87. A "medencés" iramszarvasok testtömegének átlaga ${\overline {x}}$ = 57,25, míg a másik csoportnál ugyanez a paraméter ${\overline {y}}$ = 34,45, a minták nagysága n = 8 és m = 11. A próbastatisztika értéke ennek megfelelően

${\begin{matrix}t&=&{\frac {{\overline {x}}-{\overline {y}}}{\sqrt {(n-1){s_{x}^{*}}^{2}+(m-1){s_{y}^{*}}^{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {nm(n+m-2)}{n+m}}}\\\ &=&{\frac {57,25-34,45}{\sqrt {7\cdot 15,36+10\cdot 21,87}}}\cdot {\sqrt {\frac {8\cdot 11(8+11-2)}{8+11}}}\approx 11,12\end{matrix}}$

A szignifikanciaszintet p = 0,05-nek véve és az f = n + m – 2 = 17 szabadsági fok ismeretében a t-táblázatban a t_0,05 = 1,740 értéket találják a kutatók, így

t ≈ 11,12 miatt t > 11,11 > 1,74 = t_0,05

azaz |t| ≥ t_0,05 teljesül.

Tehát a nullhipotézist elvetik, a kétmintás t-próba szerint a medencés környezetben tartott sivatagi iramszarvasok átlagos testtömege 3 hónap alatt szignifikánsan magasabb lett (p = 0,05-ös szignifikanciaszint mellett), mint az ugyanolyan körülmények között tartott, de medencét nélkülöző iramszarvasoké.

A próba matematikai háttere

A próba matematikai hátterének legfontosabb gondolata, hogy bármely X és Y független, normális eloszlású valószínűségi változóra vett X₁, X₂, … X_n illetve Y₁, Y₂, … X_m minták esetén az

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},\qquad {\overline {Y}}={\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}X_{,}$

valamint az

$s_{X}^{*}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}},\qquad s_{Y}^{*}={\sqrt {{\frac {1}{m-1}}\sum _{i=1}^{m}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}}$

jelölésekkel élve megmutatható, hogy a

$t={\frac {{\overline {X}}-{\overline {Y}}}{\sqrt {(n-1){s_{X}^{*}}^{2}+(m-1){s_{Y}^{*}}^{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {n\cdot m(n+m-2)}{n+m}}}$

valószínűségi változó (n + m – 2) szabadsági fokú t-eloszlást követ.

Emiatt az (n + m – 2) szabadsági fokú t-eloszlás ismeretében bármilyen 1 > p > 0 esetén meg lehet határozni azt az t_p értéket, melyre

$1-p=\mathbf {P} \left(-t_{p}<{\frac {{\overline {X}}-{\overline {Y}}}{\sqrt {(n-1){s_{X}^{*}}^{2}+(m-1){s_{Y}^{*}}^{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {n\cdot m(n+m-2)}{n+m}}}<t_{p}\mid \ H_{0}\right)$ .

Ez azt jelenti, hogy ha igaz a nullhipotézis, akkor a t próbastatisztika értéke 1-p valószínűséggel a (-t_p, t_p) intervallumba esik.

Megjegyzések

A kétmintás t-próba bizonyos tekintetben az kétmintás u-próba párja, mindkettő ugyanazt a nullhipotézist vizsgálja ugyanolyan adottságok mellett. Ugyanakkor az alkalmazás feltételeiben nem esik teljesen egybe a két próba és a próbastatisztikák képletei is nagy különbséget mutatnak. A kétmintás t-próba és a kétmintás u-próba között tehát nem olyan nagy a hasonlóság, mint a egy egymintás t- és u-próba között volt.

A szakirodalom nem teljesen egységes annak tekintetében, hogy a nullhipotézis elvetéséről vagy megtartásáról szóló döntésben az |t| és t_p közötti két egyenlőtlenség közül melyiknél engedi meg az egyenlőséget. Ennek gyakorlati jelentősége nem igazán van, az alkalmazások során nagyon ritkán adódik, hogy a kiszámított próbastatisztika pontosan egybeessen a táblázatbeli értékkel. Ha esetleg mégis így alakul, akkor az eredmény úgy interpretálható, hogy a nullhipotézis elvetése esetén a kockázat pontosan megegyezik a szignifikanciaszinttel, s innen a kutató (és a tudós társadalom) szája ízétől függ, hogy ebben inkább a nullhipotézis elvetésének, vagy inkább a nullhipotézis megtartásának zálogát látja.

Érdemes megfigyelni az óvatos fogalmazást a nullhipotézis megtartása esetén. Az általunk meghatározott p szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét adja meg. Ha el tudom vetni a nullhipotézist, akkor ekkora kockázatot vállalok arra nézve, hogy esetleg hiba elvetni. Amennyiben viszont nem tudom elvetni a nullhipotézist, akkor elsőfajú hibát biztosan nem fogok elkövetni, ám elkövethetek másodfajú hibát, melynek kockázatáról semmit nem mond a próba. Ez indokolja, hogy ha a nullhipotézist megtartjuk, akkor nem azt mondjuk, hogy nincs szignifikáns különbség a két átlag között, hanem hogy a kétmintás t-próba nem tudott szignifikáns különbséget kimutatni (ami ettől még lehet, hogy van).

A próbastatisztika képletét szokták a következő formában is megadni.

t={\frac {{\overline {x}}-{\overline {y}}}{{\sqrt {\frac {(n-1){s_{x}^{*}}^{2}+(m-1){s_{y}^{*}}^{2}}{n+m-2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}}}}

Ez a fenti képlettel ekvivalens.

Jegyzetek

↑ Az eredeti adatok szétszórtságát csökkentettük azáltal, hogy átlagot számítottunk belőle. Ezt fejezi ki a szabadsági fok. Jelen esetben az X és az Y változónál is szökkent eggyel a szabadsági fok, összesen tehát kettővel.
↑ A két csoportnak egyetlen tényezőt kivéve tökéletesen azonosnak kell lennie (fajta, táplálkozás, életkor, stb.) Az egyetlen különbség közöttük az állattartás módja (a fürdési lehetőség). Ezt a statisztikában kezelésnek nevezzük.

Források

Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.