Jacobi-polinomok

A Jacobi-polinomok a ${\displaystyle [-1,1]}$ intervallumon értelmezett ortogonális polinomok két paraméteres serege. Súlyfüggvényük ${\displaystyle (1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }}$, ahol α, β > -1. A Jacobi-differenciálegyenlet megoldásai. Carl Gustav Jacob Jacobiról nevezték el őket.

A Jacobi-polinomok explicit alakja:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

vagy az ₂F₁ hipergeometrikus függvény segítségével

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right).}$

Az 1 helyettesítési értéke

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}}$.

Szimmetria: páros n-re páros, páratlan n-re páratlan függvények:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)\,}$

így a ‒1 helyettesítési értéke

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

A Jacobi-polinomok ${\displaystyle k}$-adik deriváltja

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

Néhány fontos polinom a Jacobi-polinomok speciális esetének tekinthető:

• α = β = 0: Legendre-polinomok
• a Gegenbauer-polinomok
• a Csebisev-polinomok

• Eric W. Weisstein et al., „Jacobi Polynomial“, at MathWorld.