Imaginárius egység
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/ImaginaryUnit5.svg/300px-ImaginaryUnit5.svg.png)
A matematikában az imaginárius egység (vagy képzetes egység) egy olyan komplex szám, melynek négyzete −1. Leggyakrabban i, j vagy az ι (ióta) betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a valós számok halmaza () kiterjeszthető a komplex számok halmazára (). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.
Meghatározás
A képzetes egység az alábbi másodfokú egyenlet egyik megoldásaként definiálható. x2+1=0, vagy másképpen x2=-1.
Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.
A képzetes egységre a valós számoknál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy i-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük, az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (0=x2+1) és i2 helyett -1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy i magasabb egész kitevős hatványai -i, 1 és i:
i3=i2•i=-i,
i4=i3•i=-i•i=-1•-1=1
i és -i
A egyenletnek i bevezetése után 2 elkülönülő megoldása is van, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az egyenlet i megoldása adott (i definíciója alapján), akkor a -i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk i meghatározására, úgy tűnhet, hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve „pozitív i”-nek. Ez azért van, mert habár i és -i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a -i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t -i-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az két gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.
Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza -ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz automorfizmusa van -nek, az azonosság X -X-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)
Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számokat 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét
és
megoldása az :
mátrixegyenletnek.
Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a „pozitív” körforgás „iránya” az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.
Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a komplex szám más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.
Pontos használat
Az imaginárius egység néha -ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben, valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:
- . (hibás)
A
azonosság csak a és b nem negatív valós értékeinél áll fenn. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például helyett célszerűbb -t írni.
Az imaginárius egység négyzetgyöke
Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:
- , amennyiben
Ez levezethető Euler formulájából:
és
ezért
négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:
ha x = π/4 in cos(x), akkor
Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:
Köbgyöke
Az i köbgyökei:
A többi egységgyökhöz hasonlóan egy egységkörbe írt szabályos sokszög csúcsain helyezkednek el.
i reciproka
i reciproka könnyedén kifejezhető:
Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden i komplex számra:
i hatványai
i hatványai egy körben ismétlődnek:
Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol n egész szám:
Ebből következik, hogy:
ahol mod a modulus művelet.
i és Euler képlete
Euler képlete a következő:
- ,
ahol x egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex x-re is. Az x = π helyettesítés a következőt eredményezi:
és meg is kapjuk az elegáns Euler-azonosságot:
Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, e és i) az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével.
Példa
x=π/2-2Nπ, helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egész szám, a következőt adja:
vagy, mindkettőt i hatványra emelve:
vagy
- ,
ami megmutatja, hogy ii-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:
ahol N akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli, ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus több értékű képlet.
Műveletek i-vel
Alapműveletek
Az i-vel való szorzás a pozitív irányú 90 fokos forgatásnak felel meg:
Az i-vel való osztás ugyanazt az eredményt adja, mint a reciprokkal való szorzás:
Ezzel az i-vel való osztás eredménye:
vagyis megfelel egy negatív irányú 90 fokos forgatásnak.
További műveletek
Sok valós számmal elvégezhető művelet elvégezhető i-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.
Egy szám ni-edik hatványa:
- .
Egy szám ni-edik gyöke:
Egy szám i alapú logaritmusának főértéke:
i koszinusza egy valós szám:
és i szinusza imaginárius:
A faktoriális általánosítása a teljes gammafüggvény: 1 + i:
Továbbá,
- [1]
i az i-ediken
Az Euler-formulával kifejezve:
ahol tetszőleges egész szám. Ennek főértékét k = 0 adja, ami valós szám: e−π/2, értéke megközelítőleg 0,207879576...[2]
Alternatív jelölések
- Az elektronikában és a kapcsolódó területeken, az imaginárius egység gyakran -ként van jelölve, hogy elkerüljék az áramerősséggel való felcserélését. A Python is a j-t használja az imaginárius egység jelölésére és a Matlabban az i-t és a j-t is használhatjuk.
- Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek, melyek a j-t -i-ként definiálják.
- Néhány szöveg az ι-t használja az imaginárius egység jelölésére.
Jegyzetek
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap