Helyiérték
Helyi értéknek nevezzük egy szám leírásakor a felhasznált számjegy helye által képviselt valós számértéket. Ez függ az írásrendszer alapjául szolgáló számtól és a jegy helyétől. Sokszor helyi értéknek nevezik a szám valódi értékét, azaz az saját értékének és a helyhez tartozó érték szorzatát is. Ez látszólag kétértelművé teszi a kifejezést, azonban a szövegkörnyezetből rendszerint egyértelműen kiderül, melyik értelmezésről van szó.
Definíció
Helyiértékes írásmódnak nevezzük a szám alábbi alakját:
- [* 1]
Ennek a felírásnak a kifejtése valamely g alapú számrendszerben:
Eme összeg egyes tagjai együtthatójának értékét nevezzük az ni jegy helyiértékének.
A helyiértékes írásmód természetesen kiterjeszthető a valós számokra is.[* 2] Ebben az esetben az összegben negatív kitevőjű tényezők, így 1-nél nem nagyobb helyi értékek is szerepelnek.
A hétköznapokban a g=10 választással élünk (tízes számrendszer), de egyes területeken ettől eltérhetünk. Például az időszámítás esetén g=60, a számítástechnikában g=2, g=8 vagy g=16. Ezek a g értékeke egyben a számrendszerek alapszámai is.
Történet
![]() | Bővebben: A számírás története |
Eredetileg az ember a számokat, mint mennyiségeket megfelelő számú jel lejegyzésével írta. Ez értelemszerűen csak nem túl nagy számok esetén hatékony eljárás. A sumerek ezt a rendszert annyiban módosították, hogy tíz jel együttesét új jellel jelölték, így némileg könnyebbé vált a számok kiolvasása.
A sumer elgondolást az ókori Egyiptomban továbbfejlesztették olyan formában, hogy a tízes csoportokat egy nagyobb egységbe tízesével foglalták össze, és erre egy újabb jelet alkalmaztak. Ez már magában foglalja a helyi értékes írásmód csíráit is. Igazán jelentős lépés a Sumer Birodalomban történt, amikor a nagyobb egységnek nem alkalmaztak külön jeleket, hanem leírták, hogy egy nagyobb csoport van, azaz az 1 jelét írták le újfentebb. Azonban ez konfúzzá válhatott, ha a szövegkörnyezet nélkül hivatkoztunk az adott számra, mert nem tudhattuk, hogy az adott 1-nek valójában mennyi az értelme.[* 3]
A probléma megoldása az üres hely jelölése lett, ezt a sumerek az íróvessző tompa végének agyagba nyomásával végezték el. Ezt a jelölést valószínűleg Nagy Sándor hódítási révén ismerték meg Indiában, ahol ebből a 0 kialakult. Ezzel tulajdonképpen a helyi értékes írásmód elől minden akadály elhárult.
Példa
Egy leírt számban egy számjegyhez három érték tartozik: az alaki érték, azaz a jegy saját értéke, a helyi érték, ami a jegy számban elfoglalt helyétől függ, és a valódi érték, ez pedig a kettejük szorzata.
- Egész szám esetén
A 348 számban a jegyek megfelelő értékei:
Számjegy | Alaki érték | Helyi érték | Valódi érték |
---|---|---|---|
3 | 3 | 102=100 | 3·100=300 |
4 | 4 | 101=10 | 4·10=40 |
8 | 8 | 100=1 | 8·1=8 |
A szám értékét a valódi értékek összege adja meg: 300+40+8=348.
- Tizedestört esetén
A 28,42 számban az egyes értékek:
Számjegy | Alaki érték | Helyi érték | Valódi érték |
---|---|---|---|
2 | 2 | 101=10 | 2·10=20 |
8 | 8 | 100=1 | 8·1=8 |
4 | 4 | 10-1=0,1 | 4·0,1=0,4 |
2 | 2 | 10-2=0,01 | 2·0,01=0,02 |
Látható, hogy a két 2 számjegy által képviselt valós érték nagyban függ a számban elfoglalt helyétől.
- Más számrendszer esetén
Vizsgáljuk a 65248 számot!
Számjegy | Alaki érték | Helyi érték | Valódi érték | |
---|---|---|---|---|
6 | 6 | 83=512 | 6·512=3072 | |
5 | 5 | 82=64 | 5·64=320 | |
2 | 2 | 81=8 | 2·8=16 | |
4 | 4 | 80=1 | 4·1=4 |
Látható, hogy a helyi értékek eltérnek a megszokottaktól, de persze 8-as számrendszerben ezek pont az 1008, 108, stb. alakot öltik. Ez egyben a számrendszerek közötti átváltásokat is bemutatja.
Megjegyzések
- ↑ A felülvonást, ha nem okoz többértelműséget, el lehet hagyni
- ↑ Ezt először Simon Stevin flamand matematikus végezte el
- ↑ Ennek köszönhető, hogy a szögmérésben a teljes szög 360 °-os. Bővebben: a szögekről szóló cikkben.
Jegyzetek
Források
- Dr. Szendrei János. Algebra és számelmélet. Nemzedékek tudása tankönyvkiadó (2001). ISBN 9789631924015
- I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Matematikai kézikönyv. Typotex (2006). ISBN 9789639326538