Feltételes eloszlás

A valószínűségszámításban a valószínűségi változók feltételes eloszlása egy lehetőség arra, hogy többdimenziós valószínűségeloszlások viselkedését vizsgálják peremeloszlásokra vonatkozóan. A keletkezett eloszlás tartalmazza egyes koordináták értékéről megszerzett tudást. Fontos szerep jut nekik a Bayes-statisztikák készítésében, például az a-posteriori valószínűségek meghatározásában. A feltételes eloszlás a feltételes valószínűségre alapul, így osztozik annak problémáiban. Az általánosabb szabályos feltételes eloszlás a feltételes várható értékre épít, így megkerüli ezeket a problémákat.

Adva legyen egy ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ kétdimenziós valószínűségi változó ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$-en az ${\displaystyle f(x,y)}$ közös eloszlásfüggvénnyel. Ennek egyik peremeloszlása ${\displaystyle Y}$ eloszlása, az ${\displaystyle f_{Y}(y)}$ peremeloszlásfüggvénnyel. Ekkor ${\displaystyle P(Y=y)>0}$ esetén az

${\displaystyle f(x|y):={\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

valószínűségfüggvényű valószínűségi változó ${\displaystyle X}$ feltételes eloszlása, feltéve ${\displaystyle Y=y}$, valószínűségi függvénye feltételes valószínűségi függvény. A hozzá tartozó valószínűségi függvény jelölése ${\displaystyle P_{X|Y=y}}$.

Adva legyen a kétdimenziós ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ valószínűségi vektorváltozó ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$-en. Az

${\displaystyle F(x|y)=\lim _{h\downarrow 0}P(X\leq x|y\leq Y\leq y+h)}$

eloszlás feltételes eloszlásfüggvény ${\displaystyle X}$ feltételes eloszlása, feltéve ${\displaystyle Y=y}$.

Egy ${\displaystyle f(x,y)}$ közös sűrűségfüggvény és egy ${\displaystyle f_{Y}(y)}$ létezése esetén, amennyiben ez utóbbi nem egyenlő nullával, akkor a feltételes sűrűségfüggvény

${\displaystyle f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$.

Legyen ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ multinomiális eloszlású valószínűségi vektorváltozó, ${\displaystyle Z\sim M(n,(p,1-p))}$. Valószínűségi függvénye

${\displaystyle f_{Z}(x,y)\;=\;{\begin{cases}{n \choose x,y}\;p^{x}(1-p)^{y}&{\mbox{ha }}x+y=n\\0&{\mbox{egyébként}}\end{cases}}}$.

Peremeloszlása ${\displaystyle X}$-re vonatkozóan binomiális:

${\displaystyle f_{X}(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{(n-x)}}$.

A feltételes valószínűségfüggvényre adódik, hogy

${\displaystyle f(y|x)={\frac {f_{Z}(x,y)}{f_{X}(x)}}={\begin{cases}1&{\text{ ha }}y=n-x\\0&{\text{ egyébként }}\end{cases}}}$.

Ez várható, mivel a koordináták összefüggnek az ${\displaystyle x+y=n}$ képlet szerint. A kimenetelek összege mindig ${\displaystyle n}$, ezért ${\displaystyle X}$ kimenetele meghatározza ${\displaystyle Y}$ értékét. Emiatt a feltételes valószínűség determinisztikus.

• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bedingte Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.