Euler-féle differenciálegyenlet

 Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Euler-féle lineáris differenciálegyenletnek nevezzük a következő egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típust:

x 2 y ″ + a 1 x y ′ + a 2 y = r ( x ) {\displaystyle x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=r(x)\,} (1)

alakú differenciálegyenletet, ahol a 1 {\displaystyle a_{1}\,} és a 2 {\displaystyle a_{2}\,} állandók.

Ha r ( x ) ≡ 0 {\displaystyle r(x)\equiv 0\,} , akkor az egyenlet homogén. Ennek alakja tehát:

x 2 Y ″ + a 1 x Y ′ + a 2 Y = 0 {\displaystyle x^{2}Y''+a_{1}xY'+a_{2}Y=0\,} . (2)

Az Euler-féle differenciálegyenlet az előző pontokban megismert módszerekkel is megoldható, ui.

x = e t {\displaystyle x=e^{t}\,} , ill. t = l n x {\displaystyle t=\mathrm {ln} x\,} (3)

helyettesítéssel állandó együtthatójú differenciálegyenletre vezethető vissza. A (3)-ból

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t ⋅ 1 x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {1}{x}}\,}

és

d 2 y d x 2 = d 2 y d t 2 ⋅ 1 x 2 − d y d t ⋅ 1 x 2 = 1 x 2 ( d 2 y d t 2 − d y d t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} t^{2}}}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)\,} .

Behelyettesítve például (2)-be, a

d 2 y d t 2 − d y d t + a 1 d y d t + a 2 y = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+a_{1}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+a_{2}y=0\,} ,

ill.

d 2 y d t 2 + ( a 1 − 1 ) d y d t + a 2 y = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} t^{2}}}+(a_{1}-1){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+a_{2}y=0\,}

állandó együtthatójú differenciálegyenletet kapjuk. Az Euler-féle homogén differenciálegyenlet az

Y = x k {\displaystyle Y=x^{k}\,} (4)

kísérletező feltevéssel is megoldható. Ekkor

Y ′ = k x k − 1 , Y ″ = k ( k − 1 ) x k − 2 {\displaystyle Y'=kx^{k-1},Y''=k(k-1)x^{k-2}\,} ;

behelyettesítve (2)-be és x k {\displaystyle x^{k}\,} -val egyszerűsítve, a

k ( k − 1 ) + a 1 k + a 2 = 0 {\displaystyle k(k-1)+a_{1}k+a_{2}=0\,} (5)

karakterisztikus egyenletet kapjuk. Ha (5)-nek két különböző valós gyöke van:

k 1 {\displaystyle k_{1}\,} és k 2 {\displaystyle k_{2}\,} ,

akkor x k 1 {\displaystyle x^{k_{1}}\,} és x k 2 {\displaystyle x^{k_{2}}\,}

lineárisan függetlenek, ezért alaprendszert alkotnak. Így a homogén differenciálegyenlet általános megoldása:

Y = C 1 x k 1 + C 2 x k 2 {\displaystyle Y=C_{1}x^{k_{1}}+C_{2}x^{k_{2}}\,} . (6)

Ha (5)-nek két egybeeső gyöke van, akkor a (3) helyettesítés értelmében x k = e k t {\displaystyle x^{k}=e^{kt}\,} , s így − ha k 1 {\displaystyle k_{1}\,} -gyel jelöljük a kétszeres gyököt −

e k 1 t {\displaystyle e^{k_{1}t}\,} és t e k 1 t {\displaystyle te^{k_{1}t}\,}

lesz a két lineárisan független megoldás, aminek

x k 1 {\displaystyle x^{k_{1}}\,} és x k 1 l n x {\displaystyle x^{k_{1}}\mathrm {ln} x\,}

felel meg, vagyis az általános megoldás:

Y = ( C 1 + C 2 l n x ) x k 1 {\displaystyle Y=(C_{1}+C_{2}\mathrm {ln} x)x^{k_{1}}\,} . (7)

Ha az (5) egyenletnek α ± β i {\displaystyle \alpha \pm {\beta }i\,} konjugált komplex gyöke van, akkor a két lineárisan független megoldás:

x α + β i {\displaystyle x^{\alpha +\mathrm {\beta } i}\,} és x α − β i {\displaystyle x^{\alpha -\mathrm {\beta } i}\,} .

Az általános megoldás:

Y = C 1 x α + β i + C 2 x α − β i {\displaystyle Y=C_{1}x^{\alpha +\mathrm {\beta } i}+C_{2}x^{\alpha -\mathrm {\beta } i}\,} , (8)

amelynek egyszerűbb alakot adhatunk a következő átalakítással:

Y = x α ( C 1 x β i + C 2 x − β i ) = x α ( C 1 e β i l n x + C 2 e − β i l n x ) {\displaystyle Y=x^{\alpha }(C_{1}x^{\mathrm {\beta } i}+C_{2}x^{\mathrm {-\beta } i})=x^{\alpha }(C_{1}e^{\mathrm {\beta } i\mathrm {ln} x}+C_{2}e^{\mathrm {-\beta } i\mathrm {ln} x})\,} ,

s mivel

e β i l n x = e i l n x β = cos ⁡ ( l n x β ) + i sin ⁡ ( l n x β ) {\displaystyle e^{\mathrm {\beta } i\mathrm {ln} x}=e^{i\mathrm {ln} x^{\beta }}=\cos(\mathrm {ln} x^{\beta })+i\sin(\mathrm {ln} x^{\beta })\,} ,
e − β i l n x = e − i l n x β = cos ⁡ ( l n x β ) − i sin ⁡ ( l n x β ) {\displaystyle e^{\mathrm {-\beta } i\mathrm {ln} x}=e^{-i\mathrm {ln} x^{\beta }}=\cos(\mathrm {ln} x^{\beta })-i\sin(\mathrm {ln} x^{\beta })\,} ,

ezért

Y = x α ( K 1 cos ⁡ ( l n x β ) + K 2 sin ⁡ ( l n x β ) ) {\displaystyle Y=x^{\alpha }(K_{1}\cos(\mathrm {ln} x^{\beta })+K_{2}\sin(\mathrm {ln} x^{\beta }))\,} . (9)

molotov ribbentrop paktummal módosított euler módszer

Y = 2L/c