A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak a nála nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak a nála nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg.[1]
A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;[2] a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.[3][4] A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function, amiben az entier szó franciául egészet jelent.
Definíciók
Alsó egészrész
Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6869089028dcdfd044b509489dc6f52fef534f25)
Így például
.
Felső egészrész
Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:
![{\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539d4e228071d360ba7ce9c4ec0a1f85947ad2da)
Például:
.
Törtrész
Egy x valós szám törtrésze az alsó egészrészétől való távolsága, azaz
. Nyilván mindig teljesül, hogy
.
Példa:
érték | alsó egészrész | felső egészrész | törtrész |
2,4 | 2 | 3 | 0,4 |
2,7 | 2 | 3 | 0,7 |
−2,7 | −3 | −2 | 0,3 |
−2 | −2 | −2 | 0 |
Tulajdonságok
Ekvivalens definíciók
Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban pontosan egy egész szám van, ezért bármely x valós szám esetén egyértelműen léteznek olyan m és n egészek, amikre:
![{\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90da2af4a67ffd97acf2cb014f95e3c88d397455)
Ekkor az egészrészek definícióiból
és
.
Számolás egészrészekkel
A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n\quad \Longleftrightarrow \quad n\leq x<n+1\quad \Longleftrightarrow \quad x-1<n\leq x,\\\lceil x\rceil =n\quad \Longleftrightarrow \quad n-1<x\leq n\quad \Longleftrightarrow \quad x\leq n<x+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2698fceb5122ca6ddb154fc4a5ba3b363148d0dd)
Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot is mutatják:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\Longleftrightarrow \lfloor x\rfloor <n,\\n<x&\Longleftrightarrow n<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\Longleftrightarrow \lceil x\rceil \leq n,\\n\leq x&\Longleftrightarrow n\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73c8e63f4338e0d5d012c8543ccfe1ab35aedaa)
Egész szám hozzáadásának hatása:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02d0089e484be6122c0d349831acfaa10beaefc)
Ha n nem egy egész, akkor a fenti egyenlőségek helyett felírhatóak:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \geq \lceil x+y\rceil \geq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa57e25a5c5c74074cb23fdce361258b89eb9b63)
Ezek csupa egész értékek, ezért bármilyen x, y valós számokra
A függvények kapcsolata
A definíciók alapján nyilván
, ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész. Tehát
![{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7aec7ff0c779ea28dc0d54042a4f93a01520e1)
Az argumentum előjelét megváltoztatva az egészrész függvények egyike előjelváltással a másikra cserélhető, és fordítva. Ez így írható formálisan:
.
Fennállnak továbbá a következő összefüggések is:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\+1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}},\\&\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\-1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}},\\&\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\+1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752d810c01681b01d808b0b6b9286d9270a62243)
A felső és az alsó egészrész, illetve a törtrész idempotens:
![{\displaystyle {\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }=\lfloor x\rfloor ;\;{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }=\lceil x\rceil ;\;{\Big \{}\{x\}{\Big \}}=\{x\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1a17ed26e694bee80002cd8e622a81a66ddb8e)
A két egészrész függvény összetevésével (kompozíciójával) visszakapjuk a belső függvényt, azaz
és
.
Osztások
Ha m, n egészek és n ≠ 0, akkor
![{\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec18ad4f6fbaa7e99b70a4afacb9ebd59611691)
Ha n pozitív[5], akkor
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\\\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55fc9c2afae2551dba526da551f0e1c996b7d43)
Ha m pozitív[6], akkor
![{\displaystyle {\begin{aligned}n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,\\n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7d4377a813d4b8d0b6b01995c648768bfc4f84)
m = 2-re sajátosan:
.
Az ún. Hermite-azonosság[7] szerint pozitív egész m-ek és valós x-ek esetén:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,\\\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e521e2b871fcdd5d6dfda07deba0b073f693a06)
Egész számlálójú, pozitív egész nevezőjű racionális számok esetén az egészrészek közötti áttérési összefüggések[8]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,\\&\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd31e83aff36a8aa2d97c7e8a87e3717f095dcd)
Ha m és n is pozitív egész, és relatív prímek, akkor
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor k\cdot {\frac {m}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d743d68ae90765266ad6793ab1a913132cc009)
A jobb oldali kifejezés szimmetrikus m-ben és n-ben, ezért
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor k\cdot {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=1}^{m-1}\left\lfloor k\cdot {\frac {n}{m}}\right\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e970d97c3d4f15bfaea1b8b754b1a9f62957a7c)
Ennek egy általánosítása pozitív m-re és n-re, illetve tetszőleges valós x-re[9]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor =\\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ca5dbb05f99e039e8245b1512042659d668ceb)
Pozitív n-re és valós x, y-ra:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {1}{n}}\cdot {\Big \lfloor }{\frac {x}{y}}{\Big \rfloor }\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\rfloor ,\\\left\lceil {\frac {1}{n}}\cdot {\Big \lceil }{\frac {x}{y}}{\Big \rceil }\right\rceil =\left\lceil {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\rceil .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac6b1ef7e840afe75d910b5543d4709226d6544)
Jellemzés
A felső és alsó egészrész, illetve a törtrész függvények nem folytonosak a teljes ℝ-en – szakadási pontjaik az egész számok. Nem párosak és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. A alsó egészrész és a törtrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos minden pontban. A szakadási pontok elsőfajúak – mindkét oldali határérték létezik és véges. Az egészrészek monoton növekvőek. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.
Ezek a függvények nem fejthetők Taylor-sorba, mivel nem folytonosak. Ezen kívül Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.
Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:[10]
![{\displaystyle x{\bmod {y}}={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}},\quad {\text{ha }}y\nmid x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1c5d7a46c9ddff333a2b10885c42da2e3d85ec)
Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:
![{\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}},\quad {\text{ha }}x\not \in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46173e9f9dab9a98eacc8ee3462c9834305bf26)
A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.
Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32711d4df587d16ebc286f17b1f098a0da6fee4f)
Alkalmazások
Kapcsolat a modulo operátorral
A mod operátor (minden y ≠ 0 esetén) így definiálható:
![{\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5f2c8648146554d84026f5ce5374309b486c52)
x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel, ezért az y előjelétől függően
vagy
.
Ha x egész és y pozitív, akkor
![{\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059bfea3806e4be9a4e42727f0377ecc2dc99c3c)
Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.
Kvadratikus reciprocitás
Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.[11][12]
Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen
![{\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48803aa4f53dcc326ea25f4b063a9ea9472cb399)
Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra
![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108257d12c7f47a7481c8a888cf34b213b5385c8)
és
![{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e9d891515bf5412e6aa52aa13cc08863908abf)
A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed674b9dfa93cc24ed95292189a8d0b4932e3776)
Összetéve
![{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107230eddab9380f27bd1fc2b6871f1c300efbf2)
Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:[13]
![{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0194dd4311e17974ecd16a714d8fcc9955a5cd72)
![{\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792e976fc299949d1a8094b3e02aa0552a7ef3d7)
Kerekítés
A pozitív számok egészekre kerekítése az
függvénnyel, a negatív számoké az
függvénnyel írható le.
Tizedesjegyek levágása
A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre
, nem pozitív egészekre pedig
.
A szignumfüggvény felhasználásával:
.
Jegyek száma
Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben
Faktoriálisok prímtényezős felbontása
Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában[14]:
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddbccb3460baa4cf3c030c461e5a581384a2fc8)
Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.
Beatty-sorozatok
A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.[15]
Az Euler-konstans
Több képletben is együtt szerepel az egészrésszel a γ = 0,5772156649... Euler–Mascheroni-konstans:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,\\&\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),\\&\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33fe02bc39dbd78d45365e4cbd6f4cf8417c394)
Riemann-féle zéta függvény
A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.
Parciális integrálással megmutatható,[16] hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor
![{\displaystyle {\sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c549d3d84bfd7962a029d26115e358573e031425)
Ha most φ(n) = n−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:
![{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444fd07196270202027e7b341d3ab235efec7889)
Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.[17]
A kritikus sávban levő s = σ + i t-re
![{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4ed15fe32dcfe3bf98a55bcf6fbf023099162e)
1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.[18]
Prímszámok
n akkor és csak akkor prím, ha[19]
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9881d0f22464275398693724fb7063b188e5755)
Legyen r > 1 egész, pn az n-edik prím, és
![{\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf02877ba996f8884e7ead7d57944017f3498d43)
Ekkor[20]
![{\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bcc72261e391cc4e3d104c07491dbe39e9d00f)
Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy
![{\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcc1a49888c8d60157dde4dfe390d8af7558a04)
mind prímek.[21]
Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy
![{\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a5047c7cc7d89def04ce577f4ca56a4476540e)
mind prímek.[21]
Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:[22]
![{\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ab9152a6baaadff6a76e3ddd308bee75394c6e)
Tehát, ha n ≥ 2,[23]
![{\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8242999a9a665cabdd1ee6c89792eaf43a6d13d)
Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.
Ramanujan problémái
Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:[24]
Ha n pozitív egész, akkor:
(I)
(II)
(III)
Ezeket az állításokat sikerült belátni.
Megoldatlan kérdések
A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:
Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy[25]
![{\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94e1e43891eee9e91fb10d257918a88ecca3b93)
Mahler[26] belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.
Jegyzetek
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
- ↑ Lemmermeyer, pp. 10, 23.
- ↑ Iverson, p. 12.
- ↑ Higham, p. 25.
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
- ↑ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
- ↑ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
- ↑ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
- ↑ Lemmermeyer, p. 25
- ↑ Hardy & Wright, Th. 416
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
- ↑ Titchmarsh, p. 13
- ↑ Titchmarsh, pp.14–15
- ↑ Crandall & Pomerance, p. 391
- ↑ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
- ↑ Hardy & Wright, § 22.3
- ↑ a b Ribenboim, p. 186
- ↑ Ribenboim, p. 181
- ↑ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
- ↑ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
- ↑ Hardy & Wright, p. 337
- ↑ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124
Források
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik: Ronald L. Graham – Donald E. Knuth – Oren Patashnik: Concrete Mathematics. (angolul) Reading (Massachusetts): Addison–Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5
- ↑ Lemmermeyer: Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. (angolul) Berlin: Springer Science+Business Media. 2000. ISBN 3-540-66957-4
- ↑ Iverson: Kenneth E. Iverson: A Programming Language. (angolul) New York: John Wiley & Sons, Inc. 1962.
- ↑ Higham: Nicholas J. Higham: Handbook of writing for the mathematical sciences. (angolul) Philadelphia (Pennsylvania): Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-420-6
- ↑ Titchmarsh: Edward Charles Titchmarsh – David Rodney Heath-Brown: The Theory of the Riemann Zeta-function. (angolul) 2. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1
- ↑ Hardy & Wright: E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. (angolul) 5. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5 Hozzáférés: 2022. március 11.
- ↑ Crandall & Pomerance: Richard Crandall – Carl Promerance: Prime Numbers: A Computational Perspective. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 2001. ISBN 0-387-94777-9 Hozzáférés: 2022. március 11.
- ↑ Ribenboim: Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 1996. ISBN 0-387-94457-5
- ↑ Ramanujan: Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. (angolul) Providence (Rhode Island): AMS / Chelsea. 2000. ISBN 978-0-8218-2076-6
- Floor function (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
- Štefan Porubský: Integer rounding functions (angol nyelven). Cseh Tudományos Akadémia, 2007. április 1. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
- Eric W. Weisstein: Floor function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
- Eric W. Weisstein: Ceiling function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
| Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |