Digamma-függvény a komplex síkon: a színek kódolják az s értékét, erősebb színek a zéró közeli értékeket mutatják A ψ (x ) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja .
ψ ( x ) = d d x ln Γ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) . {\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.} Ez az első poligamma-függvény .
Kapcsolat a harmonikus számokkal A digamma-függvény (jelölései: ψ0 (x ), ψ0 (x ), vagy ϝ {\displaystyle \digamma } , a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz :
ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!} ahol H n az n -edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:
ψ ( n + 1 2 ) = − γ − 2 ln 2 + ∑ k = 1 n 2 2 k − 1 {\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}
Intergrállal kifejezve ψ ( x ) = ∫ 0 ∞ ( e − t t − e − x t 1 − e − t ) d t {\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt} ez a kifejezés akkor érvényes, ha x {\displaystyle x} valós része pozitív.
Kifejezhetjük:
ψ ( s + 1 ) = − γ + ∫ 0 1 1 − x s 1 − x d x {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx} mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.
Sorozattal kifejezve A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:
ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ z n ( n + z ) z ≠ − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots } vagy
ψ ( z ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ z − 1 ( n + 1 ) ( n + z ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 − 1 n + z ) z ≠ 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right)\qquad z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots } Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:
∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ p ( n ) q ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}} ,
ahol p (n ) és q (n ) n polinomjai.
Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:
∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( n + b k ) r k = ∑ k = 1 m ( − 1 ) r k ( r k − 1 ) ! a k ψ ( r k − 1 ) ( b k ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}
feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.
Taylor sorok A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z =1-nél. Ez:
ψ ( z + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ζ ( k + 1 ) ( − z ) k {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}} , mely konvergál |z |<1 felé. Itt a ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} a Riemann-féle zéta-függvény .
Newton sor A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:
ψ ( s + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}} ahol ( s k ) {\displaystyle \textstyle {s \choose k}} a binomiális együttható .
Reflexiós képlet A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.
ψ ( 1 − x ) − ψ ( x ) = π cot ( π x ) {\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}
Gauss-összeg A digamma Gauss-összege :
− 1 π k ∑ n = 1 k sin ( 2 π n m k ) ψ ( n k ) = ζ ( 0 , m k ) = − B 1 ( m k ) = 1 2 − m k {\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}} 0 < m < k {\displaystyle 0<m<k} egészekre. Itt, a ζ(s ,q ) a Hurwitz zéta függvény, és a B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} a Bernoulli-polinom.
Gauss digammaelmélete Gauss digamma elmélete,[ 1] [ 2] szerint m és k ( m < k ), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:
ψ ( m k ) = − γ − ln ( 2 k ) − π 2 cot ( m π k ) + 2 ∑ n = 1 ⌊ ( k − 1 ) / 2 ⌋ cos ( 2 π n m k ) ln ( sin ( n π k ) ) {\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)}
Közelítések J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint[ 3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:
ψ ( x ) = ln ( x ) − 1 2 x − 1 12 x 2 + 1 120 x 4 − 1 252 x 6 + O ( 1 x 8 ) {\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+O\left({\frac {1}{x^{8}}}\right)} Hasonló közelítés magasabb tagokra:
ψ ( x ) = ln ( x ) − 1 2 x − 1 12 x 2 + 1 120 x 4 − 1 252 x 6 + 1 240 x 8 − 5 660 x 10 + 691 32760 x 12 − 7 84 x 14 + 3617 8160 x 16 − 43867 14364 x 18 + O ( 1 x 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {5}{660x^{10}}}\\&\quad +{\frac {691}{32760x^{12}}}-{\frac {7}{84x^{14}}}+{\frac {3617}{8160x^{16}}}-{\frac {43867}{14364x^{18}}}+O\left({\frac {1}{x^{20}}}\right)\end{aligned}}}
Speciális értékek Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra :
ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!} ψ ( 1 2 ) = − 2 ln 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma } ψ ( 1 3 ) = − π 2 3 − 3 2 ln 3 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma } ψ ( 1 4 ) = − π 2 − 3 ln 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma } ψ ( 1 6 ) = − π 2 3 − 2 ln 2 − 3 2 ln ( 3 ) − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma } ψ ( 1 8 ) = − π 2 − 4 ln 2 − 1 2 { π + ln ( 2 + 2 ) − ln ( 2 − 2 ) } − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }
Jegyzetek ↑ http://mathworld.wolfram.com/GausssDigammaTheorem.html ↑ http://www.wolframalpha.com/input/?i=gauss's+digamma+theorem ↑ (1976) „Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation”. Applied Statistics 25 , 315-317. o.
Források Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o. Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.
Kapcsolódó szócikkek Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap