Ceva-tétel

A Ceva-tétel a háromszögekben található szakaszokkal tesz fontos állítást. A tétellel a magasságtétel, szögfelező-tétel vagy az oldalafelezőkre vonatkozó tétel könnyen bizonyítható. A tételt eredetileg Giovanni Ceva olasz matematikus tette közzé 1678-ban.^[1]

Az ${\displaystyle ABC}$ háromszögben ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ és ${\displaystyle CF}$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban (${\displaystyle O}$), ha

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$ .

Használjuk a Menelaosz-tételt az ${\displaystyle ABE}$ háromszögre:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BO}{OE}}\cdot {\frac {EC}{CA}}=-1}$.

Majd ugyanezt a ${\displaystyle BCE}$ háromszögre:

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CA}{AE}}\cdot {\frac {EO}{OB}}=-1}$.

Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$ .

Megjegyzés (trigonometrikus Céva-tétel)

A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is: az ${\displaystyle ABC}$ háromszögben ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ és ${\displaystyle CF}$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha

${\displaystyle {\frac {\sin DAC\sphericalangle }{\sin DAB\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin EBA\sphericalangle }{\sin EBC\sphericalangle }}\cdot {\frac {\sin FCB\sphericalangle }{\sin FCA\sphericalangle }}=1}$.

Használjuk fel azt a tételt, miszerint az egyenlő magasaságú háromszögek területe arányos az alapjaikkal. Ekkor

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {t_{ABD}}{t_{ADC}}}={\frac {t_{OBD}}{t_{ODC}}}={\frac {t_{ABD}-t_{OBD}}{t_{ADC}-t_{ODC}}}={\frac {t_{ABO}}{t_{CAO}}}}$

Hasonlóan kapjuk, hogy

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {CE}{EA}}&={\frac {t_{BCO}}{t_{ABO}}}\\{\frac {AF}{FB}}&={\frac {t_{CAO}}{t_{BCO}}}\end{aligned}}.}$

A fenti arányokat összeszorozva kapjuk a tétel állítását:

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {t_{ABO}}{t_{CAO}}}\cdot {\frac {t_{BCO}}{t_{ABO}}}\cdot {\frac {t_{CAO}}{t_{BCO}}}=1.}$^[1]