| Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A Chauchy-integrálképlet a komplex analízis egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy holomorf függvény értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a reziduumtétel. A tételnek több változata van.
Körlapra
Állítás
Ha
nyílt,
holomorf,
komplex szám, továbbá
relatív kompakt körlap
-ben, akkor minden
esetén, vagyis ha
-re teljesül, hogy
:
![{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfe2112027384830f4158693e3b2853d5d78fa3)
ahol
pozitív irányítású görbe, és
ahol
kerülete.
Bizonyítás
Rögzített
esetén definiáljuk a
függvényt mint
, ahol
és
ha
. Ekkor
folytonos
-ban és holomorf
-ben. A Cauchy-féle integráltétellel
.
Most a
,
függvény holomorf, és deriváltja
, ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig
. Tehát
konstans, és mivel
, azért
.
Következményei
Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke:
.
![{\displaystyle f|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{re^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12fb2ba8370f5a675e976b3f93384ace6058df)
Minden holomorf függvény minden pontban tetszőlegesen sokszor komplex differenciálható, és minden deriváltja holomorf. Az integrálképlettel ez azt jelenti, hogy
és
esetén:
![{\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5945186a1d4cba29cf40c860823d0781593ffb50)
A holomorf függvények hatványsorba fejthetők, a sorfejtés minden
komplex számra érvényes.
![{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -a\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-a)^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50735c124141fb38aec0b82f1d00c1629e902ae0)
Az
függvényre alkalmazott integrálképlettel azonnal következik, hogy az
együtthatók pontosan a Taylor-sor együtthatói. Ha
für
, akkor az együtthatók becsülhetők, mint:
![{\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a831dd9261990f8be452e4b48712e0687d3dc2)
A Liouville-tétel is egyszerűen belátható az integrálképlet felhasználásával, továbbá az algebra alaptételére is lehet következtetni.
Kiszámíthatók integrálok is, például:
![{\displaystyle \oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7569bccc54acdfabf019bd4f65c6d283000bd04)
A következmények bizonyítása
A Cauchy-integrálképletet parciálisan differenciáljuk, amiben a differenciálás és az integrálás felcserélhető:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f500daa0491ef141a9234734b07a200380b12bab)
Az
kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f|_{U}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a-(z-a)}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\zeta -a}}}}\mathrm {d} \zeta \,{\overset {|{\frac {z-a}{\zeta -a}}|<1}{=}}\,{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-a}{\zeta -a}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-a)^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03d41ca97b208ea55891927e42d2fd14a5baf17)
Mivel
esetén a mértani sor egyenletesen konvergens, szabad tagonként integrálni, az összegzés és az integrál felcserélhető. A kifejtés együtthatói:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!}}f^{(n)}|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{(re^{\mathrm {i} t})^{n+1}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b4179b16065969a27bf4e8d01869812180d83c)
Az együtthatókra teljesül a következő becslés: Legyen
olyan, hogy
ha
! Ekkor
számokra:
![{\displaystyle |a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {|f(a+re^{\mathrm {i} t})|} _{\leq M}\,\mathrm {d} t\leq {\frac {M}{r^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aa6fcca8f9ebd6a5a5a64251f11b70523c8374)
Ha
holomrf és korlátos a teljes
síkon, tehát
minden
komplex számra, akkor minden
valós számra:
![{\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a831dd9261990f8be452e4b48712e0687d3dc2)
Mivel
tetszőleges, azért
minden
esetén. Így az
korlátos volta miatt:
![{\displaystyle f(z)=a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f00507a4770d72de4ec398da8f728b74a21f8c)
Ez azt jelenti, hogy korlátos egészfüggvény konstans, ami éppen a Liouville-tétel.
Körlapok direkt szorzatán
A magasabb dimenziós analízisben használják a körlapok direkt szorzatát is, aminek neve az angol alapján polilemeznek, a német alapján policilindernek vagy polihengernek magyarítható.
Pontosabban, ha
nyílt körlap, akkor a
középpontú policilinder, aminek multirádiusza
, megadható, mint
![{\displaystyle \Delta (z_{1},r_{1})\times \dots \times \Delta (z_{n},r_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4a7d740bdafabb06e8ce2ddc6bce7f00410add)
vagy ekvivalensen,
![{\displaystyle \{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|<r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e589c87fd3b8841c6ad60c3d3135764e1696bd2)
A policilinder az egydimenziós körlap általánosítása, de
esetén nem biholomorf a gömbbel. Ezt Poincaré látta be 1907-ben, amikor megmutatta, hogy a két halmaz automorfizmus- és Lie-csoportjainak dimenziói különbözőek.
A Cauchy-integrálképlet általánosítható magasabb dimenzióra. Legyenek
körlapok a komplex síkon,
pedig a direkt szorzatuk. Legyen továbbá az
függvény holomorf, és
komplex pont! Ekkor az integrálképlet alakja:
![{\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})\cdots (\xi _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \xi _{1}\cdots \mathrm {d} \xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae481658aea05f76eedf47f7ee491d8f183dfa7)
A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy
![{\displaystyle D^{k}f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {k!}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b7ec68952e025355a6480588980d840831f08)
illetve
![{\displaystyle \left|D^{k}f(z)\right|\leq {\frac {M\cdot k!}{r^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc0d069d20cfd9d24205b0896bdc1d398df5b8d)
ahol
és
az
policilinder sugara.[1] További általánosítás a Bochner-Martinelli-képlet.
Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint
,
ahol
.
Ciklusokra
A komplex analízisben egy lánc folytonos görbék egész együtthatós lineáris kombinációja, ahol a negatív előjel az irányítás megfordítását jelenti. Egy ciklus olyan lánc, amiben minden komplex szám ugyanannyiszor vég- mint kezdőpont; azaz zárt görbék alkotta lánc.
Legyen
tartomány,
holomorf , és
nullholomorf ciklus
-ben. Ekkor minden
esetén, ami nem pontja a
ciklusnak, teljesül, hogy:
![{\displaystyle \operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e9b4486f833c3fb338fd23739d31ae186bd4f7)
ahol
körülfordulási száma
körül.
Jegyzetek
- ↑ Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.
Források
- Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
- Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Cauchysche Integralformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Polyzylinder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.