Üres függvény

Nem tévesztendő össze a következővel: Nullfüggvény.

A matematikai üres függvény fogalma alatt olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya az üres halmaz. Minden A halmazhoz pontosan egy ilyen üres függvény létezik:

${\displaystyle f_{A}:\emptyset \rightarrow A.}$

Az üres függvény grafikonja a ${\displaystyle \emptyset \times A}$ Descartes-szorzat részhalmaza. Mivel a szorzat üres, egyetlen részhalmaza maga az üres halmaz. Ez érvényes hozzárendelés, hiszen az ${\displaystyle \emptyset }$ értelmezési tartomány minden x-ére létezik olyan egyedi y az A értékkészletben, hogy ${\displaystyle x,y\in \emptyset \times A}$. Ez az állítás az üres igazságok mintapéldánya, hiszen nincsen x az értelmezési tartományban.

Az ${\displaystyle \emptyset \rightarrow \emptyset }$ hozzárendelést megvalósító üres függvény létezése szükséges ahhoz, hogy a halmazok kategóriája (Set) kategória lehessen, mivel a kategória minden objektumának rendelkeznie kell identitásmorfizmussal, és az egyetlen üres függvény az ${\displaystyle \emptyset }$ objektum identitása. A kardinális aritmetikában azt jelenti, hogy minden k kardinális számra k⁰ = 1; ez különösen mély, ha a k = 0-t tekintjük.

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).