Théorie d'Auslander-Reiten

En algèbre, la théorie d'Auslander-Reiten étudie la théorie des représentations des anneaux artiniens à l'aide de techniques telles que les suites d'Auslander-Reiten (également appelées suites presque scindées) et les carquois d'Auslander-Reiten. La théorie d'Auslander-Reiten a été introduite par Maurice Auslander et Iduun Reiten et développée par eux dans plusieurs articles ultérieurs.

Soit ${\displaystyle R}$ une algèbre d'Artin. Une suite

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de modules gauches de type fini sur ${\displaystyle R}$ est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :

• La suite n'est pas scindée ;
• ${\displaystyle C}$ est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans ${\displaystyle C}$ qui n'est pas un isomorphisme se factorise par ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle A}$ est indécomposable et tout homomorphisme de ${\displaystyle A}$ vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par ${\displaystyle B}$.

Pour tout module gauche de type fini ${\displaystyle C}$ qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini ${\displaystyle A}$ qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suitz presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.

Le module ${\displaystyle A}$ dans la suite presque scindée est isomorphe à ${\displaystyle D(Tr(C))}$, le dual de la transposée de ${\displaystyle C}$.

On prend pour ${\displaystyle R}$ est l'anneau ${\displaystyle k[x]/(x^{n})}$ pour un corps ${\displaystyle k}$ et un entier ${\displaystyle n\geq 1}$. Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des ${\displaystyle k[x]/(x^{m})}$ pour ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$ et le seul qui est projectif est celui pour ${\displaystyle m=n}$. Les suites presque scindées sont isomorphes à

${\displaystyle 0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1})\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0}$

pour ${\displaystyle 1\leq m<n}$. Le premier morphisme envoie ${\displaystyle a}$ sur ${\displaystyle (xa,a)}$, et le second envoie ${\displaystyle (b,c)}$ sur ${\displaystyle b-xc}$.

Le carquois d'Auslander-Reiten d'une algèbre d'Artin possède un sommet pour chaque module indécomposable et une flèche entre les sommets s'il existe un morphisme irréductible entre les modules correspondants. Il possède une application ${\displaystyle \tau =D\ Tr}$ appelée translation des sommets non projectifs vers les sommets non injectifs, où ${\displaystyle D}$ est le dual et ${\displaystyle Tr}$ la transposée.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auslander–Reiten theory » (voir la liste des auteurs).
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• Maurice Auslander, « The what, where, and why of almost split sequences », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Calif., 1986), Providence, R.I., Amer. Math. Soc., 1987 (MR 934232, lire en ligne), p. 338–345
• Maurice Auslander, Idun Reiten et Sverre O. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 36), 1997 (1^re éd. 1995) (ISBN 978-0-521-59923-8, MR 1314422, présentation en ligne).— Première édition en 1995
• Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø et Øyvind Solberg, Selected works of Maurice Auslander. Part 1, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1999a (ISBN 978-0-8218-0998-3, MR 1674397, présentation en ligne)
• Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø et Øyvind Solberg, =Selected works of Maurice Auslander. Part 2, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1999b (ISBN 978-0-8218-1000-2, MR 1674401, lire en ligne)
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• Peter Gabriel, « Auslander-Reiten sequences and representation-finite algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 831 « Representation theory, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) »,‎ 1980, p. 1-71 (ISBN 978-3-540-10263-2, DOI 10.1007/BFb0089778, MR 0607140)
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• Claire Amiot, « Raconte-moi ... un carquois », Gazette des mathématiciens, Société mathématique de France, n^o 155,‎ janvier 2018, p. 61-67 (zbMATH 1395.16007, HAL hal-02002244, lire en ligne).
• (en) « Almost-split sequence », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Lidia Angeleri Hügel, « An Introduction to Auslander-Reiten Theory », Advanced School on Representation Theory and related Topics,‎ 2006 (lire en ligne)

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