Théorème de Fueter-Pólya
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Le théorème de Fueter-Pólya, prouvé en 1923 par Rudolf Fueter et George Pólya, énonce que les seules bijections quadratiques de dans (l'ensemble des entiers naturels) sont les deux polynômes de Cantor.
Histoire
En 1873, Cantor démontra[1] que le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable, en exhibant la fonction polynomiale
- ,
qui réalise une bijection de dans , appelée fonction de couplage de Cantor. En intervertissant les deux variables, on obtient donc aussi une bijection ().
En 1923, Fueter chercha à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et prouva qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose . Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte, et conjectura que même la restriction sur le degré est inutile. Ils publièrent cet échange épistolaire[2]. Leur preuve est étonnamment analytique et difficile, utilisant le théorème de Lindemann-Weierstrass[3].
En 2001, Maxim Vsemirnov a publié[4] une démonstration élémentaire du théorème de Fueter-Pólya, utilisant seulement la loi de réciprocité quadratique de Gauss et le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet[5].
Énoncé
Si un polynôme réel quadratique à deux variables se restreint en une bijection de dans , alors il s'agit nécessairement de
ou de .
Dimensions supérieures
Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré n, bijectif de ℕn dans ℕ pour n ≥ 2, somme de coefficients binomiaux[6] :
- .
On conjecture[7] que pour tout n ≥ 2, les n! fonctions polynomiales déduites de Pn par permutation des variables sont les seules bijections polynomiales de degré n de ℕn dans ℕ, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de bijections polynomiales de degré quelconque de ℕn dans ℕ, peut-être même seulement celles déduites des Pk pour k ≤ n.
Notes et références
- ↑ (de) G. Cantor, « Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre », J. reine angew. Math., vol. 84, , p. 242-258 (lire en ligne) (le polynôme présenté ici est une adaptation de celui de Cantor (p. 257), qui ne considérait pas mais ).
- ↑ (de) Rudolf Fueter et Georg Pólya, « Rationale Abzählung der Gitterpunkte », Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich, vol. 58, , p. 280-386 (lire en ligne).
- ↑ (en) Craig Smoryński, Logical Number Theory I, Springer, (lire en ligne), chap. I.4 et I.5 (« The Fueter–Pólya Theorem »), p. 23-43.
- ↑ (en) M. A. Vsemirnov, « Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials », Algebra i Analiz, vol. 13, no 5, , p. 1-15 (lire en ligne). Errata : ibid., vol. 14 , no 5, 2002, p. 240.
- ↑ (en) Melvyn B. Nathanson, « Cantor polynomials and the Fueter-Polya theorem », (arXiv 1512.08261).
- ↑ (en) Paromita Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, vol. 34, 1961, p. 8-9.
- ↑ Smoryński1991, chap. I.4, conjectures 4.2 à 4.4.
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