Orthogone de Lill
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png)
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L'orthogone de Lill est une méthode de résolution graphique des équations polynomiales, popularisée par l'autrichien Eduard Lill (1830-1900).
Construction
Considérons une équation cubique :
Pour l'illustration graphique, on choisit :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Methode_de_Lill_1.svg/220px-Methode_de_Lill_1.svg.png)
La première étape est de construire l'orthogone de Lill. Le plan est doté d'un repère orthonormé . À partir du point O, on construit des segments successifs, dont les longueurs correspondent aux coefficients du polynôme. Le segment OM est de longueur a et orienté selon . M se situerait donc à gauche de O si a était négatif. Le segment MN est de longueur b selon , et ainsi de suite : entre chaque segment on tourne de 90° dans le sens antihoraire.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Methode_de_Lill_2.svg/220px-Methode_de_Lill_2.svg.png)
L'orthogone de Lill permet d'évaluer le polygone pour une valeur de x donnée. Ici, on l'illustre pour . On trace un premier segment OS. L'angle entre OM et OS est tel que et S se situe sur la droite (MN). On vérifie aisément que :
et donc :
Après le point S, la construction se poursuit avec un angle droit, jusqu'à croiser (NP) au point T. On retrouve le même angle .
On a donc : Et
On réitère l'opération, avec un nouvel angle droit, et le tracé atteint la droite (PQ) au point U.
Et enfin, le vecteur QU, projecté selon , n'est autre que l'évaluation du polynôme pour x :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Methode_de_Lill_3.svg/220px-Methode_de_Lill_3.svg.png)
Résoudre l'équation, c'est donc trouver les angles alpha pour lesquels les points Q et U sont confondus. Dans le polynôme pris pour exemple, il y a trois racines, -1, -2, et -3. Les tracés correspondant sont illustrés en bleu, rouge et vert.
Origami
La mathématicienne italienne Margherita Piazzola Beloch a découvert et publié, en 1936, une méthode basée sur l'orthogone de Lill pour résoudre une équation cubique par origami. Elle a ainsi, prouvé pour la première fois que l'origami était un outil mathématique plus puissant que la construction à la règle et au compas, qui ne peut résoudre, au plus, qu'une équation quadratique[1].
Voir aussi
- Cercle de Carlyle
Notes et références
- ↑ Thomas C. Hull, « Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill », The American Mathematical Monthly, vol. 118, no 4, , p. 307 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, lire en ligne, consulté le )
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