Nombre tétraédrique
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Pyramid_of_35_spheres_animation.gif)
En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des premiers nombres triangulaires, est donné par les formules [1] :
où est le symbole du coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | |||||||
2 | 1 | 2 | 1 | ||||||
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||
6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||
7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |
8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
Les dix premiers[2] sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.
Le 22e est 2024.
Démonstration de la formule
Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à , on a, d'après la formule d'itération de Pascal :
.
Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique est le n-ième nombre 3-simplicial .
On peut aussi obtenir à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers où , qui donne , puis .
Propriétés
La suite d'entiers , réduite modulo 2, est de période 4.
Les seuls nombres tétraédriques carrés sont[1],[3] P1(3) = 1 = 12, P2(3) = 4 = 22 et P48(3) = 19 600 = 1402.
Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est[1],[4] 1.
Notes et références
- ↑ a b et c (en) Eric W. Weisstein, « Tetrahedral Number », sur MathWorld
- ↑ Pour les 10 000 premiers, voir ce lien de la suite A000292 de l'OEIS.
- ↑ A.-J.-J. Meyl, « Solutions de questions proposées dans les Nouvelles annales – Question 1194 », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 17, , p. 464-467 (lire en ligne).
- ↑ (en) Frits Beukers (en) et Jaap Top, « On oranges and integral points on certain plane cubic curves », Nieuw Arch. Wisk. (nl), vol. 4, no 6, , p. 203-210 (lire en ligne).
Articles connexes
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