Nombre quasi parfait

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En mathématiques, un nombre quasi parfait est un entier n tel que ${\displaystyle \sigma (n)=2n+1\,}$, où ${\displaystyle \sigma \,}$ est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers positifs de n, incluant n. Aucun nombre quasi parfait n'a été trouvé jusqu'à aujourd'hui, mais il a été démontré que, si un nombre quasi parfait existe, alors il est supérieur à 10³⁵ et il a au moins sept diviseurs premiers distincts^[1].

Il existe des entiers n dont la somme de tous les diviseurs σ(n) est égale à 2n + 2 : 20, 104, 464, 650, 1952, 130304, 522752 ... (suite A088831 de l'OEIS). Beaucoup de ces nombres sont de la forme 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 3), où 2ⁿ − 3 est premier (au lieu de 2ⁿ − 1 pour les nombres parfaits).

De plus, il existe des entiers n dont la somme de tous les diviseurs σ(n) est égale à 2n − 1, comme les puissances de 2. On les appelle les nombres presque parfaits.

Les nombres fiancés sont aux nombres quasi parfaits ce que les nombres amicaux sont aux nombres parfaits.

• E. Brown, H. Abbott, C. Aull et D. Suryanarayana, « Quasiperfect numbers », Acta Arith., vol. 22, n^o 4,‎ 1973, p. 439–447 (DOI 10.4064/aa-22-4-439-447, MR 0316368, lire en ligne)
• Masao Kishore, « Odd integers N with five distinct prime factors for which 2−10⁻¹² < σ(N)/N < 2+10⁻¹² », Mathematics of Computation, vol. 32, n^o 141,‎ 1978, p. 303–309 (ISSN 0025-5718, DOI 10.2307/2006281, JSTOR 2006281, MR 0485658, zbMATH 0376.10005, lire en ligne)
• Graeme L. Cohen, « On odd perfect numbers (ii), multiperfect numbers and quasiperfect numbers », J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 29, n^o 3,‎ 1980, p. 369–384 (ISSN 0263-6115, DOI 10.1017/S1446788700021376, MR 0569525, zbMATH 0425.10005, lire en ligne)
• James J. Tattersall, Elementary number theory in nine chapters, Cambridge University Press, 1999, 147 (ISBN 0-521-58531-7, zbMATH 0958.11001, lire en ligne )
• Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory, third edition, Springer-Verlag, 2004 (ISBN 0-387-20860-7), p. 74
• Handbook of number theory I, Dordrecht, Springer-Verlag, 2006, 109–110 p. (ISBN 1-4020-4215-9, zbMATH 1151.11300)

Nombre abondant - Nombre amical - Nombre déficient - Nombre parfait - Nombre premier - Nombre sociable - Nombre presque parfait

• Arithmétique et théorie des nombres