Nombre hyperharmonique

En mathématiques, le n-ième nombre hyperharmonique d'ordre ${\displaystyle r}$, noté ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$, est défini par les relations de récurrence :

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}}$, et ${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0)}$^[1].

En particulier, ${\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}$ est le n-ème nombre harmonique.

Les nombres hyperharmoniques ont été étudiés par JH Conway et RK Guy dans leur livre de 1995 The Book of Numbers^[2]:258.

Par définition, les nombres hyperharmoniques vérifient la relation de récurrence

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.}$

Plutôt que d'utiliser les relations de récurrence, il existe une formule plus efficace pour calculer ces nombres :

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).}$

Les nombres hyperharmoniques ont une relation étroite avec la combinatoire des permutations. L'identité

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

se généralise en

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},}$

où ${\displaystyle \left[{n \atop r}\right]_{r}}$ est le nombre de r-Stirling de première espèce^[3].

L'expression ci-dessus avec des coefficients binomiaux donne facilement que pour tout ordre fixe ${\displaystyle r\geq 2}$, on a l'équivalent^[4] :

${\displaystyle H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),}$

c'est-à-dire que le quotient des côtés gauche et droit tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Une conséquence immédiate est que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty }$

pour ${\displaystyle m>r}$.

La fonction génératrice des nombres hyperharmoniques est

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.}$

La fonction génératrice exponentielle est beaucoup plus difficile à déduire. On a, pour tout ${\displaystyle r=1,2,\dots }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\times _{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),}$

où ₂F₂ est une fonction hypergéométrique. Le cas ${\displaystyle r=1}$ pour les nombres harmoniques est un résultat classique, le résultat général a été prouvé en 2009 par I. Mező et A. Dil^[5].

La relation suivante relie les nombres hyperharmoniques à la fonction zêta de Hurwitz^[4] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).}$

On sait que les nombres harmoniques ne sont jamais des entiers sauf dans le cas ${\displaystyle n=1}$. La même question peut être posée sur l'existence de nombres hyperharmoniques entiers. István Mező a prouvé^[6] que si ${\displaystyle r=2}$ ou ${\displaystyle r=3}$, ces nombres ne sont jamais des nombres entiers sauf dans le cas trivial où ${\displaystyle n=1}$. Il a supposé que c'était toujours le cas, à savoir que les nombres hyperharmoniques d'ordre ${\displaystyle r}$ ne sont jamais des entiers sauf lorsque ${\displaystyle n=1}$. Cette conjecture a été justifiée pour une classe de paramètres par R. Amrane et H. Belbachir^[7]. Surtout, ces auteurs ont prouvé que ${\displaystyle H_{n}^{(4)}}$ n'est pas entier pour tout ${\displaystyle r<26}$ et ${\displaystyle n=2,3,\dots }$ L'extension aux ordres plus élevés a été réalisée par Göral et Sertbaş^[8]. Ces auteurs ont également montré que ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$ n'est jamais entier lorsque ${\displaystyle n}$ est pair ou une puissance première, ou lorsque ${\displaystyle r}$ est impair.

Un autre résultat est le suivant^[9]. Soit ${\displaystyle S(x)}$ le nombre de nombres hyperharmoniques non entiers tels que ${\displaystyle (n,x)\in [0,x]\times [0,x]}$. Alors, en supposant la conjecture de Cramér,

${\displaystyle S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).}$

Il faut noter que le nombre entier de points du réseau dans ${\displaystyle [0,x]\times [0,x]}$ est ${\displaystyle x^{2}+O(x^{2})}$, ce qui montre que la plupart des nombres hyperharmoniques ne peuvent pas être entiers.

Le problème a finalement été résolu par DC Sertbaş qui a découvert qu'il existe une infinité d'entiers hyperharmoniques, bien qu'ils soient assez grands. Le plus petit nombre hyperharmonique qui est un entier trouvé jusqu'à présent est^[10]

${\displaystyle H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperharmonic number » (voir la liste des auteurs).

• Nombre harmonique

• (en) John Horton Conway et Richard K. Guy, The book of numbers, Copernicus, 1996 (ISBN 978-0-387-97993-9, lire en ligne )

• Portail de l'analyse