Nombre de Salem

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En mathématiques, un entier algébrique réel strictement supérieur à 1 est un nombre de Salem si tous ses conjugués ont un module inférieur ou égal à 1, et au moins un conjugué a un module égal à 1. Les nombres de Salem apparaissent en approximation diophantienne et en analyse harmonique. Ils sont nommés en l'honneur de Raphaël Salem.

• Comme il a une racine de module 1, le polynôme minimal d'un nombre de Salem α doit être égal à son polynôme réciproque. Il en résulte que :
  • ¹⁄_α fait partie des conjugués de α (donc est, lui aussi, un entier algébrique)
  • tous les conjugués de α ont un module égal à 1, sauf α et ¹⁄_α.
• Le plus petit nombre de Salem connu est la plus grande racine réelle du polynôme de Lehmer^[1] :

${\displaystyle X^{10}+X^{9}-X^{7}-X^{6}-X^{5}-X^{4}-X^{3}+X+1~.}$

Ce nombre vaut approximativement 1,17628^[1].

On ignore s'il existe un plus petit nombre de Salem.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Salem number » (voir la liste des auteurs).

• Nombre de Pisot-Vijayaraghavan
• Mesure de Mahler

• (en) David Boyd, « Salem number », dans Encyclopedia of Mathematics, Springer online (lire en ligne)
• (en) Small Salem numbers par Michael Mossinghoff, Davidson College (en), Caroline du Nord

• Arithmétique et théorie des nombres