Méthode des moments (analyse numérique)

Pour les articles homonymes, voir Méthode des moments.

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En analyse numérique, la méthode des moments est une méthode de résolution numérique de problèmes linéaires avec conditions aux limites. La méthode consiste à ramener le problème à un système linéaire.

Discrétisation

La méthode des moments permet de résoudre les équations inhomogènes du type :

${\displaystyle L(f)=g}$

où L est un opérateur linéaire, f et g deux fonctions. Généralement, on nomme la fonction g le terme excitation ou source, et f le terme de champ ou la réponse, l'inconnu que l'on cherche à déterminer.

La fonction f peut être décomposée sur une base de fonctions ${\displaystyle (f_{i})}$:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{i}}$

où les coefficients ${\displaystyle \alpha _{n}}$ sont constants. L'opérateur L étant linéaire, on a :

${\displaystyle \sum _{i=1,n}\alpha _{i}L(f_{i})=g}$

On définit également un produit scalaire dans l'espace des fonctions (généralement un espace de Hilbert) ainsi que des fonctions tests w_j dans le domaine de l'opérateur L. En prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec chaque w_j, on obtient :

${\displaystyle \sum _{i=1,n}\alpha _{i}\langle w_{j},L(f_{i})\rangle =\langle w_{j},g\rangle }$

Cette série d'équations peut se récrire sous forme matricielle :

${\displaystyle \mathrm {L} [\alpha ]=[g]}$

où

${\displaystyle \mathrm {L} ={\begin{pmatrix}\langle w_{1},L(f_{1})\rangle &\langle w_{1},L(f_{2})\rangle &\cdots &\langle w_{1},L(f_{n})\rangle \\\langle w_{2},L(f_{1})\rangle &\langle w_{2},L(f_{2})&\cdots &\langle w_{2},L(f_{n})\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle w_{n},L(f_{1})\rangle &\langle w_{n},L(f_{2})\rangle &\cdots &\langle w_{n},L(f_{n})\rangle \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle [\alpha ]=\left({\begin{matrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{matrix}}\right),\ [g]=\left({\begin{matrix}\langle w_{1},g\rangle \\\langle w_{2},g\rangle \\\vdots \\\langle w_{n},g\rangle \end{matrix}}\right)}$

Si la matrice L est inversible, alors les coefficients ${\displaystyle \alpha _{i}}$ peuvent être calculés par :

${\displaystyle [\alpha ]=\mathrm {L} ^{-1}[g]}$

Méthode des moments

La méthode des moments consiste à choisir l'ensemble de fonctions-test w_i = x^i-1

Lorsque les fonctions tests w_i sont choisies telles que w_i = f_i, cette méthode est connue sous le nom de méthode de Galerkine, du nom du mathématicien russe Boris Galerkine.

• Méthode des éléments finis de frontière
• Méthode de Galerkine
• Méthode des résidus pondérés
• Méthode des différences finies
• Méthode des volumes finis
• Méthode des éléments finis

• (en) R. Harrington, « Origin and Development of the Method of Moments for Fields Computation », IEEE Antennas and Propagation Magazine,‎ juin 1990.
• (en) R. Harrington, « Matrix Methods for Field Problems », Proc. of the IEEE, vol. 55, n^o 2,‎ février 1967.

• Portail de l'analyse