Limite newtonienne

La limite newtonienne est la limite de la relativité générale où celle-ci correspond à la gravitation newtonienne.

La limite newtonienne est une approximation qui suppose que les particules de déplacent lentement par rapport à la vitesse de la lumière dans un champ gravitationnel faible et statique[1].

La gravitation newtonienne n'est pas une théorie métrique de la gravitation[2]. Mais il peut lui être associée une métrique qui reproduise les équations du mouvement newtonien[2]. Il s'agit de l'approximation newtonienne de la métrique de Schwarzschild[2]. Contrairement à celle-ci, son approximation newtonienne ne peut rendre compte ni de l'avance du périhélie de Mercure ni de la courbure des rayon lumineux[2]. À l'approximation newtonienne, les coefficients de la métrique sont[3],[4],[5] :

g 00 = − c 2 − 2 Φ {\displaystyle g_{00}=-c^{2}-2\Phi } ,
g 0 i = 0 {\displaystyle g_{0i}=0} ,
g i j = δ i j {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}} ,

où δ {\displaystyle \delta } est le symbole de Kronecker[6],[7] défini par[8],[9] :

δ i j = δ i j = δ i j = { 1 si  i = j 0 si  i ≠ j {\displaystyle \delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq {j}\end{cases}}} .

Ainsi, l'approximation newtonienne de la métrique est[10],[11],[12],[13] :

d s 2 = − c 2 d τ 2 = − c 2 ( 1 + 2 Φ c 2 ) d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\left({\frac {1+2\Phi }{c^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}} .

À la limite newtonienne, la métrique s'écrit[14] :

d s 2 = c 2 ( 1 + 2 Φ c 2 ) d t 2 − ( 1 − 2 Φ c 2 ) ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\left(1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}\right)} ,

où :

  • c {\displaystyle c} est la vitesse de la lumière dans le vide ;
  • Φ {\displaystyle \Phi } est le potentiel gravitationnel newtonien[14].

Notes et références

  1. ↑ Baumann 2022, appendices, A, A.3, p. 397.
  2. ↑ a b c et d Raine et Thomas 2014, p. 31.
  3. ↑ Creighton et Anderson 2011, p. 98.
  4. ↑ Soffel et Han 2019, p. 160 (5.2.3).
  5. ↑ Will 2015, p. 51.
  6. ↑ Fienga et Minazzoli 2024, p. 11.
  7. ↑ Grøn et Næss 2011, p. 83.
  8. ↑ Creighton et Anderson 2011, p. 6 (1.15).
  9. ↑ Grøn et Næss 2011, p. 83 (5.15).
  10. ↑ Fienga et Minazzoli 2024, p. 12 (27).
  11. ↑ Grøn et Næss 2011, p. 245 (12.22).
  12. ↑ Poisson et Will 2014, p. 224 (5.12).
  13. ↑ Steane 2012, p. 239 (9.50).
  14. ↑ a et b Mo, Bosch et White 2010, § A1.5, p. 747.

Voir aussi

Bibliographie

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Articles connexes

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