Inégalité de Paley–Zygmund

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour les articles homonymes, voir Paley (homonymie).

En mathématiques, l’inégalité de Paley-Zygmund minore la probabilité qu'une variable aléatoire positive soit « petite », au sens de sa valeur moyenne attendue et de sa variance. Elle fut établie par Raymond Paley et Antoni Zygmund.

Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors

${\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq (1-\theta )^{2}\,{\frac {\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z^{2})}}.}$

Tout d'abord, on a :

${\displaystyle \operatorname {E} (Z)=\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z<\theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace +\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ~.}$

Le premier terme de la somme est égal, au plus, à ${\displaystyle \theta \operatorname {E} (Z)}$. Le second terme est au plus égal à :

${\displaystyle \lbrace \operatorname {E} (Z^{2})\rbrace ^{1/2}\lbrace \operatorname {E} \mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ^{1/2}={\Big (}\operatorname {E} (Z^{2}){\Big )}^{1/2}{\Big (}\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace {\Big )}^{1/2}}$

d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.

En réécrivant le membre de droite, l'inégalité de Paley-Zygmund se met sous la forme :

${\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z)^{2}+\operatorname {Var} (Z)}}.}$

L'Inégalité de Cauchy-Schwarz donne une meilleure minoration :

${\displaystyle \operatorname {E} [Z-\theta \operatorname {E} [Z]]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2},}$

ce qui implique, après réarrangement,

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]}}={\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}}.}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Paley–Zygmund inequality » (voir la liste des auteurs).
• R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272.

• Portail des probabilités et de la statistique