Formule genre-degré

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En géométrie algébrique, la formule genre - degré est une équation reliant le degré d d'une courbe plane irréductible C {\displaystyle C} avec son genre arithmétique g par la formule :

g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) . {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}

Ici « courbe plane » signifie que C {\displaystyle C} est une courbe fermée dans le plan projectif P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} . Si la courbe est non singulière, le genre géométrique et le genre arithmétique sont égaux, mais si la courbe est singulière, avec seulement des singularités ordinaires, le genre géométrique a priori est plus petit. Plus précisément, une singularité ordinaire de multiplicité r diminue le genre de 1 2 r ( r − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)} [1].

Généralisation

Pour une hypersurface non singulière H {\displaystyle H} de degré d dans le plan projectif P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} de genre arithmétique g la formule devient :

g = ( d − 1 n ) , {\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}

où ( d − 1 n ) {\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}} est le coefficient binomial.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Genus–degree formula » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ John Greenlees Semple et Leonard Roth, Introduction to Algebraic Geometry, 1985, 53–54 p. (ISBN 0-19-853363-2, MR 0814690)

Articles connexes

  • Conjecture de Thom (en)
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