En mathématiques, une formule de trigonométrie est une relation faisant intervenir des fonctions trigonométriques , vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation. Ces formules peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.
Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement . Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.
Notation : si ƒ est une fonction trigonométrique, ƒ2 désigne la fonction qui à tout réel x associe le carré de ƒ(x ) . Par exemple : cos2 x = (cos x )2 .
Relations entre fonctions trigonométriques Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions
tan θ = sin θ cos θ , cot θ = cos θ sin θ , … {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \ldots } et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore , notamment :
cos 2 θ + sin 2 θ = 1 tan 2 θ + 1 = 1 cos 2 θ , cot 2 θ + 1 = 1 sin 2 θ . {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\quad \tan ^{2}\theta +1={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }},\quad \cot ^{2}\theta +1={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}.} Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant ( 0 ⩽ θ ⩽ π 2 {\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant {\tfrac {\pi }{2}}} )[ 1] , éventuellement non valables en 0 ou π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} cos sin tan cot sec csc cos cos θ = 1 − sin 2 θ {\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} cos θ = 1 1 + tan 2 θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} cos θ = cot θ 1 + cot 2 θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} cos θ = 1 sec θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sec \theta }}} cos θ = csc 2 θ − 1 csc θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}} sin sin θ = 1 − cos 2 θ {\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} sin θ = tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} sin θ = 1 1 + cot 2 θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} sin θ = sec 2 θ − 1 sec θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}} sin θ = 1 csc θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\csc \theta }}} tan tan θ = 1 − cos 2 θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}} tan θ = sin θ 1 − sin 2 θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}} tan θ = 1 cot θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}} tan θ = sec 2 θ − 1 {\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} tan θ = 1 csc 2 θ − 1 {\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} cot cot θ = cos θ 1 − cos 2 θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} cot θ = 1 − sin 2 θ sin θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}} cot θ = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}} cot θ = 1 sec 2 θ − 1 {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} cot θ = csc 2 θ − 1 {\displaystyle \cot \theta ={\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} sec sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} sec θ = 1 1 − sin 2 θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}} sec θ = 1 + tan 2 θ {\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} sec θ = 1 + cot 2 θ cot θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}} sec θ = csc θ csc 2 θ − 1 {\displaystyle \sec \theta ={\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} csc csc θ = 1 1 − cos 2 θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} csc θ = 1 + tan 2 θ tan θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}} csc θ = 1 + cot 2 θ {\displaystyle \csc \theta ={\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} csc θ = sec θ sec 2 θ − 1 {\displaystyle \csc \theta ={\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
Propriétés liées au cercle trigonométrique
Symétries, parité Parité - Réflexion d'axe (θ = 0 ) Réflexion d'axe (θ = π/4 ) Réflexion d'axe (θ = π/2 ) sin ( − θ ) = − sin θ cos ( − θ ) = + cos θ tan ( − θ ) = − tan θ cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}} sin ( π 2 − θ ) = + cos θ cos ( π 2 − θ ) = + sin θ tan ( π 2 − θ ) = + cot θ cot ( π 2 − θ ) = + tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}} sin ( π − θ ) = + sin θ cos ( π − θ ) = − cos θ tan ( π − θ ) = − tan θ cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Note : Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple, sin ( π 2 + θ ) = sin ( π 2 − ( − θ ) ) = cos ( − θ ) {\displaystyle \sin({\tfrac {\pi }{2}}+\theta )=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-(-\theta ))=\cos(-\theta )} . Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.
Périodicité, décalages Décalage de π/2 Décalage de π (Période de tan et cot) Décalage de 2π (Période de sin et cos) sin ( θ + π 2 ) = + cos θ cos ( θ + π 2 ) = − sin θ tan ( θ + π 2 ) = − cot θ cot ( θ + π 2 ) = − tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}} sin ( θ + π ) = − sin θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = + tan θ cot ( θ + π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}} sin ( θ + 2 π ) = + sin θ cos ( θ + 2 π ) = + cos θ tan ( θ + 2 π ) = + tan θ cot ( θ + 2 π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Équations trigonométriques Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes[ 2] :
cos a = cos b ⇔ a = b + 2 k π ou a = − b + 2 k π ( k ∈ Z ) {\displaystyle \cos a=\cos b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad {\text{ou}}\quad a=-b+2k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )} sin a = sin b ⇔ a = b + 2 k π ou a = π − b + 2 k π ( k ∈ Z ) {\displaystyle \sin a=\sin b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad {\text{ou}}\quad a=\pi -b+2k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )} tan a = tan b ⇔ a = b + k π ( k ∈ Z ) {\displaystyle \tan a=\tan b\Leftrightarrow a=b+k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}
Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus[ 3] , [ 4] :
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b {\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b} sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b {\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b} En remplaçant b par son opposé, on obtient aussi les formules de différence[ 4] :
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b {\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b} sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b {\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b} Démonstration géométrique des formules d'addition de cos(a +b ) et sin(a +b ) Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler .
Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs (cos a , sin a ) et (cos b , sin b ) , la propriété du changement de repère ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.
Démonstration matricielle
utilise l'expression de la matrice d'une rotation plane (dans une base orthonormée directe) en fonction du cosinus et du sinus de son angle :
R θ = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) . {\displaystyle R_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}.} La rotation vectorielle plane d'angle a + b est la composée des rotations d'angles a et b donc sa matrice est le produit des matrices Ra et Rb :
( cos ( a + b ) … sin ( a + b ) … ) = R a + b = R a R b = ( cos a − sin a sin a cos a ) ( cos b … sin b … ) = ( cos a cos b − sin a sin b … sin a cos b + cos a sin b … ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(a+b)&\ldots \\\sin(a+b)&\ldots \\\end{pmatrix}}=R_{a+b}=R_{a}R_{b}={\begin{pmatrix}\cos a&-\sin a\\\sin a&\cos a\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos b&\ldots \\\sin b&\ldots \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos a\cos b-\sin a\sin b&\ldots \\\sin a\cos b+\cos a\sin b&\ldots \\\end{pmatrix}}} .
Les formules s'obtiennent alors par identification.
On en déduit les formules d'addition et de différence pour la tangente et la cotangente. Par exemple pour l'addition[ N 1] :
tan ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a tan b e t cot ( a + b ) = cot a cot b − 1 cot a + cot b {\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}\quad {\rm {et}}\quad \cot(a+b)={\frac {\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b}}} . Exemple tan ( x + π / 4 ) = 1 + tan x 1 − tan x {\displaystyle \tan(x+\pi /4)={\frac {1+\tan x}{1-\tan x}}} . Plus généralement, la tangente d'une somme de n angles[ 5] (resp. la cotangente) s'exprime en fonction des tangentes (resp. des cotangentes) de ces angles :
tan ( θ 1 + … + θ n ) = σ 1 − σ 3 + σ 5 − … 1 − σ 2 + σ 4 − … ( tan θ 1 , … , tan θ n ) e t cot ( θ 1 + … + θ n ) = σ n − σ n − 2 + σ n − 4 − … σ n − 1 − σ n − 3 + σ n − 5 − … ( cot θ 1 , … , cot θ n ) {\displaystyle \tan(\theta _{1}+\ldots +\theta _{n})={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}+\sigma _{5}-\ldots }{1-\sigma _{2}+\sigma _{4}-\ldots }}(\tan \theta _{1},\ldots ,\tan \theta _{n})\quad {\rm {et}}\quad \cot(\theta _{1}+\ldots +\theta _{n})={\frac {\sigma _{n}-\sigma _{n-2}+\sigma _{n-4}-\ldots }{\sigma _{n-1}-\sigma _{n-3}+\sigma _{n-5}-\ldots }}(\cot \theta _{1},\ldots ,\cot \theta _{n})} où les σk (pour 0 ≤ k ≤ n ) sont les polynômes symétriques élémentaires . Pour n impair, il s'agit de la même fraction rationnelle ; par exemple pour n = 3[ N 2] :
tan ( a + b + c ) = F ( tan a , tan b , tan c ) e t cot ( a + b + c ) = F ( cot a , cot b , cot c ) a v e c F ( u , v , w ) = u + v + w − u v w 1 − ( u v + u w + v w ) . {\displaystyle \tan(a+b+c)=F(\tan a,\tan b,\tan c)\quad {\rm {et}}\quad \cot(a+b+c)=F(\cot a,\cot b,\cot c)\quad {\rm {avec}}\quad F(u,v,w)={\frac {u+v+w-uvw}{1-(uv+uw+vw)}}.} Une autre conséquence intéressante de la formule d'addition pour sin est qu'elle permet de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus : α sin x + β cos x = α 2 + β 2 sin ( x + φ ) {\displaystyle \alpha \sin x+\beta \cos x={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}~\sin(x+\varphi )} où φ = a r c t a n ( β / α ) {\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(\beta /\alpha )} si α est positif et φ = a r c t a n ( β / α ) + π {\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(\beta /\alpha )+\pi } sinon.
Appelées aussi « formules d'angle double », elles peuvent être obtenues, pour les deux premières[ 6] , en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition ou en utilisant la formule de Moivre avec n = 2. Les deux suivantes se déduisent de l'identité cos2 x + sin2 x = 1 .
sin 2 x = 2 sin x cos x , cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x , tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x = 2 cot x cot 2 x − 1 = 2 cot x − tan x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x,\\\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x,\\\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2\cot x}{\cot ^{2}x-1}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}.\end{aligned}}}
Ces formules[ 7] , [ 8] permettent d'écrire cos2 x et sin2 x , donc aussi tan2 x , en fonction du cosinus de l'angle double :
cos 2 x = 1 + cos ( 2 x ) 2 , sin 2 x = 1 − cos ( 2 x ) 2 e t tan 2 x = 1 − cos ( 2 x ) 1 + cos ( 2 x ) . {\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}},\quad \sin ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{2}}\quad {\rm {et}}\quad \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}.}
| cos ( θ 2 ) | = 1 + cos θ 2 , | sin ( θ 2 ) | = 1 − cos θ 2 {\displaystyle \left|\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},\qquad \left|\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}} tan ( θ 2 ) = sin θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}} Démonstration
Les deux premières identités se déduisent des formules de réduction des carrés en remplaçant x par θ /2 .
La troisième s'obtient en écrivant tan ( θ 2 ) = sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) = 2 cos ( θ / 2 ) 2 cos ( θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) = sin θ 1 + cos θ , {\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta /2)}{\cos(\theta /2)}}={\frac {2\cos(\theta /2)}{2\cos(\theta /2)}}{\frac {\sin(\theta /2)}{\cos(\theta /2)}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }},} où l'égalité finale vient des formules de l'angle double.
La dernière (où sin θ est supposé non nul) se déduit de sin 2 θ = 1 − cos 2 θ = ( 1 − cos θ ) ( 1 + cos θ ) . {\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta =(1-\cos \theta )(1+\cos \theta ).}
Si l'on pose, pour x ≠ π + 2k π ,
t = tan ( x / 2 ) {\displaystyle t=\tan(x/2)} , on a[ 9]
cos x = 1 − t 2 1 + t 2 e t sin x = 2 t 1 + t 2 d o n c {\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad {\rm {et}}\quad \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}\quad {\rm {donc}}} [ N 3] tan x = 2 t 1 − t 2 . {\displaystyle {}\quad \tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}}.} Dans le cas de changement de variable en intégration , on ajoutera la relation [ 9] : d x = 2 d t 1 + t 2 {\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}} .
Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité .
Les égalités suivantes, du nom de Thomas Simpson , ont servi historiquement aux calculs en goniométrie .
cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 {\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}} sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 2 {\displaystyle \sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}} sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 {\displaystyle \sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}} cos a sin b = sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2 {\displaystyle \cos a\sin b={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\ } (équivalente à la précédente par interversion de a et b ). Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition et de différence .
cos p + cos q = 2 cos p + q 2 cos p − q 2 {\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}} cos p − cos q = − 2 sin p + q 2 sin p − q 2 {\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}} sin p + sin q = 2 sin p + q 2 cos p − q 2 {\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}} sin p − sin q = 2 cos p + q 2 sin p − q 2 {\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}} (équivalente à la précédente en remplaçant q par –q ). Il suffit de remplacer a par p + q / 2 et b par p – q / 2 dans les formules de transformation de produit en somme. On en déduit une généralisation des formules de la tangente de l'angle moitié :
tan p + q 2 = sin p + sin q cos p + cos q = − cos p − cos q sin p − sin q {\displaystyle \tan {\frac {p+q}{2}}={\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}=-{\frac {\cos p-\cos q}{\sin p-\sin q}}} . Par ailleurs, on déduit directement de la formule d'addition pour sin :
tan p + tan q = sin ( p + q ) cos p cos q {\displaystyle \tan p+\tan q={\frac {\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}}} .
cos x = e i x + e − i x 2 = cosh i x {\displaystyle \cos x={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}=\cosh {\rm {i}}x}
sin x = e i x − e − i x 2 i = − i sinh i x {\displaystyle \sin x={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}=-{\rm {i}}\sinh {\rm {i}}x} où i est l'unité imaginaire . On en déduit que
tan x = i ( 1 − e 2 i x ) 1 + e 2 i x = − i tanh i x {\displaystyle \tan x={\frac {{\rm {i}}\left(1-{\rm {e}}^{2{\rm {i}}x}\right)}{1+{\rm {e}}^{2{\rm {i}}x}}}=-{\rm {i}}\tanh {\rm {i}}x}
La formule de Moivre s'écrit :
cos ( n x ) + i sin ( n x ) = ( cos x + i sin x ) n {\displaystyle \cos(nx)+{\rm {i}}\sin(nx)=(\cos x+{\rm {i}}\sin x)^{n}} . Par la formule du binôme , elle équivaut à :
cos ( n x ) = ∑ 0 ⩽ k ⩽ n 2 ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k x sin 2 k x et sin ( n x ) = ∑ 0 ⩽ k ⩽ n − 1 2 ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 x sin 2 k + 1 x {\displaystyle \cos(nx)=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k}\cos ^{n-2k}x~\sin ^{2k}x\quad {\text{et}}\quad \sin(nx)=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}\cos ^{n-2k-1}x~\sin ^{2k+1}x} . Compte tenu de sin2 x = 1- cos2 x , si l'on pose
T n = ∑ 0 ⩽ k ⩽ n 2 ( − 1 ) k ( n 2 k ) X n − 2 k ( 1 − X 2 ) k et U n = ∑ 0 ⩽ k ⩽ n − 1 2 ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) X n − 2 k − 1 ( 1 − X 2 ) k {\displaystyle T_{n}=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k}X^{n-2k}(1-X^{2})^{k}\quad {\text{et}}\quad U_{n}=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}X^{n-2k-1}(1-X^{2})^{k}} , on a cos(nx ) = Tn (cos x ) et sin((n +1)x ) = sin(x ) Un (cos x ) .
Le polynôme Tn (resp. Un ) est le n -ième polynôme de Tchebychev de première (resp. seconde) espèce.
Par exemple
cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x , sin 3 x = sin x ( 4 cos 2 x − 1 ) = − 4 sin 3 x + 3 sin x {\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x,\,\sin 3x=\sin x(4\cos ^{2}x-1)=-4\sin ^{3}x+3\sin x} . La formule de Moivre permet aussi d'exprimer tan(nx ) en fonction de tan x par la relation
tan n x = Im ( 1 + i tan x ) n Re ( 1 + i tan x ) n {\displaystyle \tan nx={\frac {{\text{Im}}(1+{\rm {i}}\tan x)^{n}}{{\text{Re}}(1+{\rm {i}}\tan x)^{n}}}} . Par exemple
tan 3 x = tan 3 x − 3 tan x 3 tan 2 x − 1 {\displaystyle \tan 3x={\frac {\tan ^{3}x-3\tan x}{3\tan ^{2}x-1}}} .
Linéarisation La linéarisation d'une expression cosp x sinq x a pour but de l'exprimer comme combinaison linéaire de divers cos(nx ) (si q est pair) ou sin(nx ) (si q est impair) — par exemple pour en calculer une primitive . On peut utiliser soit les formules de transformation de produits en sommes ci-dessus, soit les formules d'Euler : cos p x sin q x = ( e i x + e − i x 2 ) p ( e i x − e − i x 2 i ) q . {\displaystyle \cos ^{p}x\sin ^{q}x=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{p}\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}\right)^{q}.}
Il suffit ensuite de
développer chacun des deux facteurs grâce à la formule du binôme de Newton , développer le produit des deux sommes obtenues (par distributivité ), simplifier les termes en utilisant que e i k x e i ℓ x = e i ( k + ℓ ) x , {\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}kx}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\ell x}={\rm {e}}^{{\rm {i}}(k+\ell )x},} puis les regrouper, sachant que e i n x + e − i n x = 2 cos ( n x ) e t e i n x − e − i n x = 2 i sin ( n x ) . {\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2\cos(nx)\quad {\rm {et}}\quad {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2{\rm {i}}\sin(nx).} Si l'un des deux exposants p ou q est nul, en appelant « degré » la valeur de l'autre, on a :
Formules de linéarisation de degré 2 ou 3
Formules de linéarisation de degré quelconque
cos 2 n x = ( e i x + e − i x 2 ) 2 n = 1 2 2 n ( ( 2 n n ) + ∑ k = 0 n − 1 ( ( 2 n k ) e i x k e − i x ( 2 n − k ) + ( 2 n 2 n − k ) e i x ( 2 n − k ) e − i x k ) ) = 1 4 n ( ( 2 n n ) + 2 ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n k ) cos ( 2 ( n − k ) x ) ) cos 2 n + 1 x = ( e i x + e − i x 2 ) 2 n + 1 = 1 2 2 n + 1 ∑ k = 0 n ( ( 2 n + 1 k ) e i x k e − i x ( 2 n + 1 − k ) + ( 2 n + 1 2 n + 1 − k ) e i x ( 2 n + 1 − k ) e − i x k ) = 1 4 n ∑ k = 0 n ( 2 n + 1 k ) cos ( ( 2 ( n − k ) + 1 ) x ) = 1 4 n ∑ ℓ = 0 n ( 2 n + 1 n − ℓ ) cos ( ( 2 ℓ + 1 ) x ) ∙ x ← x − π 2 sin 2 n x = 1 4 n ( ( 2 n n ) − 2 ∑ ℓ = 0 n − 1 ( − 1 ) ℓ ( 2 n n − 1 − ℓ ) cos ( 2 ( ℓ + 1 ) x ) ) sin 2 n + 1 x = 1 4 n ∑ ℓ = 0 n ( − 1 ) ℓ ( 2 n + 1 n − ℓ ) sin ( ( 2 ℓ + 1 ) x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2n}x&=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{2n}\\&={\frac {1}{2^{2n}}}\left({{2n} \choose n}+\sum _{k=0}^{n-1}{\left({{2n} \choose k}{\rm {e}}^{{\rm {i}}xk}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x(2n-k)}+{{2n} \choose {2n-k}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}x(2n-k)}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xk}\right)}\right)\\&={\frac {1}{4^{n}}}\left({{2n} \choose n}+2\sum _{k=0}^{n-1}{{{2n} \choose k}\cos \left(2(n-k)x\right)}\right)\\\cos ^{2n+1}x&=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{2n+1}\\&={\frac {1}{2^{2n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\left({{2n+1} \choose k}{\rm {e}}^{{\rm {i}}xk}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x(2n+1-k)}+{{2n+1} \choose {2n+1-k}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}x(2n+1-k)}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xk}\right)}\\&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \choose k}\cos \left((2(n-k)+1)x\right)\\&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{\ell =0}^{n}{{2n+1} \choose {n-\ell }}\cos \left((2\ell +1)x\right)\\\bullet ~x\leftarrow &x-{\frac {\pi }{2}}&\\\sin ^{2n}x&={\frac {1}{4^{n}}}\left({{2n} \choose n}-2\sum _{\ell =0}^{n-1}{(-1)^{\ell }{{2n} \choose {n-1-\ell }}\cos \left(2(\ell +1)x\right)}\right)\\\sin ^{2n+1}x&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{{2n+1} \choose {n-\ell }}\sin \left((2\ell +1)x\right)\end{aligned}}}
Les sommes C n = ∑ k = 0 n cos ( k θ + φ ) {\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )} et S n = ∑ k = 0 n sin ( k θ + φ ) {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )} ont les expressions closes suivantes, pour θ ≠ 0 mod 2 π {\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi } :
C n = sin ( ( n + 1 ) θ 2 ) sin θ 2 cos ( n θ 2 + φ ) , S n = sin ( ( n + 1 ) θ 2 ) sin θ 2 sin ( n θ 2 + φ ) {\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)} .
On démontre ces formules en remarquant que C n + i S n = e i φ ∑ k = 0 n ( e i θ ) k {\displaystyle C_{n}+iS_{n}={\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }\sum _{k=0}^{n}({\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })^{k}} et en utilisant les sommes de suites géométriques , ou en multipliant par sin θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}} et en linéarisant.
On en déduit que S n C n = tan ( n θ 2 + φ ) {\displaystyle {\frac {S_{n}}{C_{n}}}=\tan \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)} .
Pour θ = 0 mod 2 π {\displaystyle \theta =0\mod 2\pi } , C n = ( n + 1 ) cos φ , S n = ( n + 1 ) sin φ {\displaystyle C_{n}=(n+1)\cos \varphi ,\,S_{n}=(n+1)\sin \varphi } .
Ces formules permettent d'exprimer le noyau de Dirichlet Dn , fonction définie par :
pour tout réel x , D n ( x ) = 1 + 2 cos ( x ) + 2 cos ( 2 x ) + 2 cos ( 3 x ) + ⋯ + 2 cos ( n x ) = sin ( ( n + 1 2 ) x ) sin ( x / 2 ) {\displaystyle D_{n}(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}} Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier .
Fonctions trigonométriques réciproques Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.
y = arcsin x ⇔ x = sin y avec y ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left[{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]} y = arccos x ⇔ x = cos y avec y ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left[0,\pi \right]} y = arctan x ⇔ x = tan y avec y ∈ ] − π 2 , π 2 [ {\displaystyle y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left]{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[} Si x > 0 {\displaystyle x>0} alors
arctan x + arctan 1 x = π 2 {\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}} . Si x < 0 {\displaystyle x<0} alors
arctan x + arctan 1 x = − π 2 {\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}} . On a également l'identité suivante : arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − x y + k π {\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi } où
k = 0 si x y < 1 {\displaystyle k=0\quad {\text{si}}\quad xy<1} k = 1 si x y > 1 et x > 0 {\displaystyle k=1\quad {\text{si}}\quad xy>1\quad {\text{et}}\quad x>0} k = − 1 si x y > 1 et x < 0 {\displaystyle k=-1\quad {\text{si}}\quad xy>1\quad {\text{et}}\quad x<0} . Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore .
Relations entre fonctions trigonométriques réciproques arcsin arccos arctan arccot arcsin arcsin x = π 2 − arccos x {\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x} arcsin x = arctan x 1 − x 2 {\displaystyle \arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} arcsin x = arccot 1 − x 2 x {\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} arccos arccos x = π 2 − arcsin x {\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x} arccos x = { π + arctan 1 − x 2 x , si x < 0 arctan 1 − x 2 x , si x > 0 {\displaystyle \arccos x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}} arccos x = arccot x 1 − x 2 {\displaystyle \arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} arctan arctan x = arcsin x 1 + x 2 {\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} arctan x = { − arccos 1 1 + x 2 , si x < 0 + arccos 1 1 + x 2 , si x > 0 {\displaystyle \arctan x={\begin{cases}-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x<0\\+\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x>0\end{cases}}} arctan x = { π + arccot 1 x , si x < 0 arccot 1 x , si x > 0 {\displaystyle \arctan x={\begin{cases}\pi +\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}} arccot arccot x = { π − arcsin 1 1 + x 2 , si x < 0 arcsin 1 1 + x 2 , si x > 0 {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x>0\end{cases}}} arccot x = arccos x 1 + x 2 {\displaystyle \operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} arccot x = { π + arctan 1 x , si x < 0 arctan 1 x , si x > 0 {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {1}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {1}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}
Relations de composition arcsin arccos arctan arccot sin sin arccos x = 1 − x 2 {\displaystyle \sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}} sin arctan x = x 1 + x 2 {\displaystyle \sin \arctan x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} sin arccot x = 1 1 + x 2 {\displaystyle \sin \operatorname {arccot} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} cos cos arcsin x = 1 − x 2 {\displaystyle \cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}} cos arctan x = 1 1 + x 2 {\displaystyle \cos \arctan x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} cos arccot x = x 1 + x 2 {\displaystyle \cos \operatorname {arccot} x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} tan tan arcsin x = x 1 − x 2 {\displaystyle \tan \arcsin x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} tan arccos x = 1 − x 2 x {\displaystyle \tan \arccos x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} tan arccot x = 1 x {\displaystyle \tan \operatorname {arccot} x={\frac {1}{x}}} cot cot arcsin x = 1 − x 2 x {\displaystyle \cot \arcsin x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} cot arccos x = x 1 − x 2 {\displaystyle \cot \arccos x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} cot arctan x = 1 x {\displaystyle \cot \arctan x={\frac {1}{x}}}
Propriétés métriques dans un triangle quelconque
Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque. Soit ABC un triangle, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α , β et γ pour les mesures des angles et, d'autre part, a , b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles (voir figure ci-contre). Alors on a :
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \ \gamma .}
En notant de plus S l'aire du triangle et R le rayon de son cercle circonscrit (voir figure ci-contre), on a :
a sin α = b sin β = c sin γ = a b c 2 S = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R.} D'autre part, S est le produit du demi-périmètre p = a + b + c / 2 par le rayon r du cercle inscrit .
a − b c = sin α − β 2 cos γ 2 e t a + b c = cos α − β 2 sin γ 2 {\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}} . a − b a + b = tan α − β 2 tan α + β 2 {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}} . cot α 2 = p − a r {\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {p-a}{r}}} .
Relations entre les angles En utilisant le fait que α + β + γ = π {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi } on obtient de nombreuses relations trigonométriques, dont par exemple :
tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ {\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 4 sin α sin β sin γ {\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
Identités sans variable cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\tfrac {1}{8}}} . Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable ; elle s'obtient à partir de l'égalité :
∏ j = 0 k − 1 cos ( 2 j x ) = sin ( 2 k x ) 2 k sin x {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}} . cos 36 ∘ + cos 108 ∘ = cos π 5 + cos 3 π 5 = 1 2 . {\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}+\cos 3{\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{2}}.} cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = cos 2 π 15 + cos 2 2 π 15 + cos 4 2 π 15 + cos 7 2 π 15 = 1 2 . {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{15}}+\cos 2{\frac {2\pi }{15}}+\cos 4{\frac {2\pi }{15}}+\cos 7{\frac {2\pi }{15}}={\frac {1}{2}}.} cos 2 π 21 + cos 2 2 π 21 + cos 4 2 π 21 + cos 5 2 π 21 + cos 8 2 π 21 + cos 10 2 π 21 = 1 2 . {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos 2{\frac {2\pi }{21}}+\cos 4{\frac {2\pi }{21}}+\cos 5{\frac {2\pi }{21}}+\cos 8{\frac {2\pi }{21}}+\cos 10{\frac {2\pi }{21}}={\frac {1}{2}}.} Les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 sont les entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21.
Ces exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans ces relations.
Dans cet article , on trouvera des identités faisant intervenir l'angle π 7 {\displaystyle {\frac {\pi }{7}}} , comme cos π 7 − cos 2 π 7 + cos 3 π 7 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}-\cos {\frac {2\pi }{7}}+\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2}}} et dans celui-ci , des identités faisant intervenir l'angle π 9 {\displaystyle \pi \over 9} , comme cos π 9 − cos 2 π 9 + cos 4 π 9 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{2}}} . Autres identités classiques[ N 4] : ∏ k = 1 n − 1 tan k π 2 n = 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{2n}}=1} , dont on déduit tan 1 ∘ tan 2 ∘ . . . tan 89 ∘ = 1 {\displaystyle \tan 1^{\circ }\tan 2^{\circ }...\tan 89^{\circ }=1} . ∑ k = 1 n sin 2 k π n = n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sin ^{2}{k{\frac {\pi }{n}}}={\frac {n}{2}}} , dont on déduit sin 2 1 ∘ + sin 2 2 ∘ + ⋯ + sin 2 89 ∘ = cos 2 1 ∘ + cos 2 2 ∘ + ⋯ + cos 2 89 ∘ = 89 / 2 {\displaystyle \sin ^{2}1^{\circ }+\sin ^{2}2^{\circ }+\cdots +\sin ^{2}89^{\circ }=\cos ^{2}1^{\circ }+\cos ^{2}2^{\circ }+\cdots +\cos ^{2}89^{\circ }=89/2} . ∏ k = 1 n − 1 sin k π n = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}} , dont on déduit sin 1 ∘ sin 2 ∘ . . . sin 89 ∘ = cos 1 ∘ cos 2 ∘ . . . cos 89 ∘ = 180 2 179 {\displaystyle \sin 1^{\circ }\sin 2^{\circ }...\sin 89^{\circ }=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }...\cos 89^{\circ }={\sqrt {\frac {180}{2^{179}}}}} .
En analyse En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.
La signification géométrique du sinus et de la tangente « montre [ 10] » — et le théorème des accroissements finis démontre — que
∀ x ∈ ] 0 , π / 2 [ sin ( x ) < x < tan ( x ) . {\displaystyle \forall x\in \left]0,\pi /2\right[\quad \sin(x)<x<\tan(x).} Détails
L'argument géométrique[ 11] consiste (cf. figure ci-contre) à encadrer l'aire d'un secteur circulaire du disque unité, d'angle θ = x , par celle de deux triangles : l'aire du triangle OAD, contenu dans le secteur, vaut sin θ/2 ; celle du secteur vaut par définition θ/2 ; celle du triangle OCD, qui le contient, vaut tan θ/2 . La preuve analytique consiste à considérer un réel y (fourni par le théorème des accroissements finis) tel que 0 < y < x et sin x x = sin ′ y = cos y {\displaystyle 0<y<x{\text{ et }}{\frac {\sin x}{x}}=\sin 'y=\cos y} et à remarquer que cos x < cos y < 1. {\displaystyle \cos x<\cos y<1.}
Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples en sont la méthode d'Archimède pour le calcul du nombre π (voir quadrature du cercle ) et le problème de Bâle .
En changeant x en arctan x , on obtient :
∀ x > 0 x 1 + x 2 < arctan x < x . {\displaystyle \forall x>0\quad {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}<\arctan x<x.} En changeant x en arcsin x , on obtient :
∀ x ∈ ] 0 , 1 [ x < arcsin x < x 1 − x 2 . {\displaystyle \forall x\in \left]0,1\right[\quad x<\arcsin x<{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Dérivées Les dérivées de sin et cos peuvent se déduire l'une de l'autre par décalage de π/2 . Elles sont :
sin ′ = cos , cos ′ = − sin . {\displaystyle \sin '=\cos ,\quad \cos '=-\sin .} Exemples de démonstrations
Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, on se convainc d'abord de l'encadrement ci-dessus, dont on déduit immédiatement (grâce au théorème des gendarmes ) lim x → 0 sin x x = 1. {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.} Cette limite permet de calculer les dérivées de sin et cos , à partir de la définition du nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement , en transformant la différence en produit dans le numérateur de ce taux. Si les fonctions trigonométriques sont définies analytiquement, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.
Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation . Par exemple :
tan ′ = 1 + tan 2 = 1 cos 2 = sec 2 , {\displaystyle \tan '=1+\tan ^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}}}=\sec ^{2},} cot ′ = − 1 − cot 2 = − 1 sin 2 = − csc 2 , {\displaystyle \cot '=-1-\cot ^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}}}=-\csc ^{2},} arcsin ′ ( x ) = 1 1 − x 2 , {\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},} arccos ′ = − arcsin ′ , {\displaystyle \arccos '=-\arcsin ',} arctan ′ ( x ) = 1 1 + x 2 . {\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}
Primitives Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques .
Avec un argument complexe Fonctions trigonométriques Écriture Expression Ensemble de départ Ensemble d'arrivée Dérivée Argument complexe sin x {\displaystyle \sin x} e i x − e − i x 2 i {\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2\,\mathrm {i} }}} R {\displaystyle \mathbb {R} } [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} cos x {\displaystyle \cos x} sin ( i x ) = i sinh x {\displaystyle \sin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {sinh} x} cos x {\displaystyle \cos x} e i x + e − i x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} − sin x {\displaystyle -\sin x} cos ( i x ) = cosh x {\displaystyle \cos \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {cosh} x} tan x {\displaystyle \tan x} i 1 − e 2 i x 1 + e 2 i x {\displaystyle \mathrm {i} {\frac {1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}}{1+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}}}} R ∖ { π 2 + p π } , p ∈ Z {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} } R {\displaystyle \mathbb {R} } 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x {\displaystyle 1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} tan ( i x ) = i tanh x {\displaystyle \tan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {tanh} x} cot x {\displaystyle \cot x} i e 2 i x + 1 e 2 i x − 1 {\displaystyle \mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}+1}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}-1}}} R ∖ { p π } , p ∈ Z {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} } R {\displaystyle \mathbb {R} } − ( 1 + cot 2 x ) = − 1 sin 2 x {\displaystyle -\left(1+\cot ^{2}x\right)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}} cot ( i x ) = − i coth x {\displaystyle \cot \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {coth} x} sec x {\displaystyle \sec x} 2 e i x + e − i x {\displaystyle {\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}}} R ∖ { π 2 + p π } , p ∈ Z {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} } R ∖ ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[} sin x cos 2 x = sin x ⋅ tan x {\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sin x\cdot \tan x} sec ( i x ) = sech x {\displaystyle \sec \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {sech} x} csc x {\displaystyle \csc x} 2 i e i x − e − i x {\displaystyle {\frac {2\,\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}}} R ∖ { p π } , p ∈ Z {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} } R ∖ ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[} − cos x sin 2 x = − cos x ⋅ cot x {\displaystyle -{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\cos x\cdot \cot x} csc ( i x ) = − i csch x {\displaystyle \csc \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {csch} x}
Fonctions trigonométriques réciproques Écriture Expression Ensemble de départ Ensemble d'arrivée Dérivée Argument complexe arcsin x {\displaystyle \arcsin x} i ln ( 1 − x 2 − i x ) {\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-x^{2}}}-\mathrm {i} x\right)} [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} [ − π 2 ; π 2 ] {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]} 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} arcsin ( i x ) = i arsinh x {\displaystyle \arcsin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {arsinh} x} arccos x {\displaystyle \arccos x} i ln ( x − i 1 − x 2 ) {\displaystyle \mathrm {i} \ln \left(x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)} [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} [ 0 ; π ] {\displaystyle \left[0;\pi \right]} − 1 1 − x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} arccos ( i x ) = π 2 − i arsinh x {\displaystyle \arccos \left(\mathrm {i} x\right)={\tfrac {\pi }{2}}-\mathrm {i} \operatorname {arsinh} x} arctan x {\displaystyle \arctan x} i 2 ln 1 − i x 1 + i x {\displaystyle {\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} \,x}{1+\mathrm {i} \,x}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } ] − π 2 ; π 2 [ {\displaystyle \left]-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right[} 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}} arctan ( i x ) = i artanh x {\displaystyle \arctan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {artanh} x} arccot x {\displaystyle \operatorname {arccot} x} i 2 ln x − i x + i {\displaystyle {\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x-\mathrm {i} }{x+\mathrm {i} }}} R {\displaystyle \mathbb {R} } ] 0 ; π [ {\displaystyle \left]0;\pi \right[} − 1 1 + x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}} arccot ( i x ) = − i arcoth x {\displaystyle \operatorname {arccot} \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {arcoth} x} arcsec x {\displaystyle \operatorname {arcsec} x} i ln ( 1 x − i 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\tfrac {1}{x}}-\mathrm {i} {\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)} R ∖ ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[} [ 0 ; π 2 [ ∪ ] π 2 ; π ] {\displaystyle \left[0;{\tfrac {\pi }{2}}\right[\cup \left]{\tfrac {\pi }{2}};\pi \right]} 1 x 2 1 − 1 x 2 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}}}} arcsec ( i x ) = π 2 + i arcsch x {\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(\mathrm {i} x\right)={\tfrac {\pi }{2}}+\mathrm {i} \operatorname {arcsch} x} arccsc x {\displaystyle \operatorname {arccsc} x} i ln ( 1 − 1 x 2 − i x ) {\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}-{\tfrac {\mathrm {i} }{x}}\right)} R ∖ ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[} [ − π 2 ; 0 [ ∪ ] 0 ; π 2 ] {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};0\right[\cup \left]0;{\tfrac {\pi }{2}}\right]} − 1 x 2 1 − 1 x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}} arccsc ( i x ) = − i arcsch x {\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {arcsch} x}
Démonstration
x = sin y = e i y − e − i y 2 i ⇒ e 2 i y − 2 i x e i y − 1 = 0 ⇒ y = − i ln ( i x ± 1 − x 2 ) arcsin x ∈ [ − π 2 ; π 2 ] } ⇒ arcsin x = − i ln ( i x + 1 − x 2 ) = i ln ( 1 − x 2 − i x ) {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\sin y={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}{2\,\mathrm {i} }}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\,\mathrm {i} \,x\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-1=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \arcsin x\in \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \arcsin x=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)=\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-x^{2}}}-\mathrm {i} x\right)} x = cos y = e i y + e − i y 2 ⇒ e 2 i y − 2 x e i y + 1 = 0 ⇒ y = − i ln ( x ± i 1 − x 2 ) arccos x ∈ [ 0 ; π ] } ⇒ arccos x = − i ln ( x + i 1 − x 2 ) = i ln ( x − i 1 − x 2 ) {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\cos y={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}{2}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\;\;x\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+1=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left(x\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \arccos x\in \left[0;\pi \right]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \arccos x=-\mathrm {i} \ln \left(x+\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)=\mathrm {i} \ln \left(x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)} x = tan y = i 1 − e 2 i y 1 + e 2 i y ⇒ e 2 i y = i − x i + x ⇒ y = − i 2 ln i − x i + x = i 2 ln 1 − i x 1 + i x ⇒ arctan x = i 2 ln 1 − i x 1 + i x {\displaystyle \,x=\tan y=\mathrm {i} {\frac {1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}}{1+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}={\frac {\mathrm {i} -x}{\mathrm {i} +x}}\Rightarrow y=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {\mathrm {i} -x}{\mathrm {i} +x}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} x}{1+\mathrm {i} x}}\Rightarrow \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} x}{1+\mathrm {i} x}}} x = cot y = i e 2 i y + 1 e 2 i y − 1 ⇒ e 2 i y = x + i x − i ⇒ y = − i 2 ln x + i x − i = i 2 ln x − i x + i ⇒ arccot x = i 2 ln x − i x + i {\displaystyle \,x=\cot y=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}+1}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}-1}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}={\frac {x+\mathrm {i} }{x-\mathrm {i} }}\Rightarrow y=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x+\mathrm {i} }{x-\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x-\mathrm {i} }{x+\mathrm {i} }}\Rightarrow \operatorname {arccot} x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x-\mathrm {i} }{x+\mathrm {i} }}} x = sec y = 2 e i y + e − i y ⇒ x e 2 i y − 2 e i y + x = 0 ⇒ y = − i ln ( 1 x ± i 1 − 1 x 2 ) arcsec x ∈ [ 0 ; π ] } ⇒ arcsec x = − i ln ( 1 x + i 1 − 1 x 2 ) = i ln ( 1 x − i 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\sec y={\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\;\;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+x=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left({\frac {1}{x}}\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \operatorname {arcsec} x\in [0;\pi ]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arcsec} x=-\mathrm {i} \ln \left({\frac {1}{x}}+\mathrm {i} {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)=\mathrm {i} \ln \left({\frac {1}{x}}-\mathrm {i} {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)} x = csc y = 2 i e i y − e − i y ⇒ x e 2 i y − 2 i e i y − x = 0 ⇒ y = − i ln ( i x ± 1 − 1 x 2 ) arccsc x ∈ [ − π 2 ; π 2 ] } ⇒ arccsc x = − i ln ( 1 − 1 x 2 + i x ) = i ln ( 1 − 1 x 2 − i x ) {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\csc y={\frac {2\,\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\,\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-x=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left({\frac {\mathrm {i} }{x}}\pm {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {arccsc} x\in \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arccsc} x=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{x}}\right)=\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}-{\frac {\mathrm {i} }{x}}\right)}
Fonctions hyperboliques Écriture Expression Ensemble de départ Ensemble d'arrivée Dérivée Argument complexe sinh x = sh x {\displaystyle \operatorname {sinh} x=\operatorname {sh} x} e x − e − x 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{x}-{\mathrm {e} }^{-x}}{2}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} } cosh x {\displaystyle \operatorname {cosh} x} sinh ( i x ) = i sin x {\displaystyle \operatorname {sinh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \sin x} cosh x = ch x {\displaystyle \operatorname {cosh} x=\operatorname {ch} x} e x + e − x 2 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{x}+{\mathrm {e} }^{-x}}{2}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } [ 1 ; ∞ [ {\displaystyle [1;\infty [} sinh x {\displaystyle \operatorname {sinh} x} cosh ( i x ) = cos x {\displaystyle \operatorname {cosh} (\mathrm {i} x)=\cos x} tanh x = th x {\displaystyle \operatorname {tanh} x=\operatorname {th} x} e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{2x}-1}{{\mathrm {e} }^{2x}+1}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle ]-1;1[} 1 cosh 2 x = 1 − tanh 2 x {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {cosh} ^{2}x}}=1-\operatorname {tanh} ^{2}x} tanh ( i x ) = i tan x {\displaystyle \operatorname {tanh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \tan x} coth x {\displaystyle \operatorname {coth} x} e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{2x}+1}{{\mathrm {e} }^{2x}-1}}} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} R ∖ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle \mathbb {R} \backslash [-1;1]} − 1 sinh 2 x = 1 − coth 2 x {\displaystyle -{\frac {1}{\operatorname {sinh} ^{2}x}}=1-\operatorname {coth} ^{2}x} coth ( i x ) = − i cot x {\displaystyle \operatorname {coth} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \cot x} sech x {\displaystyle \operatorname {sech} x} 2 e x + e − x {\displaystyle {\frac {2}{{\mathrm {e} }^{x}+{\mathrm {e} }^{-x}}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } ] 0 ; 1 ] {\displaystyle ]0;1]} − sinh x cosh 2 x {\displaystyle -{\frac {\operatorname {sinh} x}{\operatorname {cosh} ^{2}x}}} sech ( i x ) = sec x {\displaystyle \operatorname {sech} (\mathrm {i} x)=\sec x} csch x {\displaystyle \operatorname {csch} x} 2 e x − e − x {\displaystyle {\frac {2}{{\mathrm {e} }^{x}-{\mathrm {e} }^{-x}}}} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} − cosh x sinh 2 x {\displaystyle -{\frac {\operatorname {cosh} x}{\operatorname {sinh} ^{2}x}}} csch ( i x ) = − i csc x {\displaystyle \operatorname {csch} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \csc x}
Fonctions hyperboliques réciproques Écriture Expression Ensemble de départ Ensemble d'arrivée Dérivée Argument complexe arsinh x = argsh x {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {argsh} x} ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} } 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} arsinh ( i x ) = i arcsin x {\displaystyle \operatorname {arsinh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arcsin x} arcosh x = argch x {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\operatorname {argch} x} ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} [ 1 ; ∞ [ {\displaystyle [1;\infty [} R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} arcosh ( i x ) = arsinh x + i π 2 {\displaystyle \operatorname {arcosh} (\mathrm {i} x)=\operatorname {arsinh} x+\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}} [ N 5] , [ 12] artanh x = argth x {\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {argth} x} 1 2 ln 1 + x 1 − x {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}} ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle ]-1;1[} R {\displaystyle \mathbb {R} } 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}} artanh ( i x ) = i arctan x {\displaystyle \operatorname {artanh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arctan x} arcoth x = argcoth x {\displaystyle \operatorname {arcoth} x=\operatorname {argcoth} x} 1 2 ln x + 1 x − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}} R ∖ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle \mathbb {R} \backslash [-1;1]} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}} arcoth ( i x ) = − i arccot x {\displaystyle \operatorname {arcoth} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \operatorname {arccot} x} arsech x = argsech x {\displaystyle \operatorname {arsech} x=\operatorname {argsech} x} ln 1 + 1 − x 2 x {\displaystyle \ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}} ] 0 ; 1 ] {\displaystyle ]0;1]} R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} arsech ( i x ) = arcsch x − i π 2 {\displaystyle \operatorname {arsech} (\mathrm {i} x)=\operatorname {arcsch} x-\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}} [ N 5] , [ 13] arcsch x = argcsch x {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\operatorname {argcsch} x} ln 1 + 1 + x 2 x {\displaystyle \ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} − 1 x 1 + x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{x{\sqrt {1+x^{2}}}}}} arcsch ( i x ) = − i arccsc x {\displaystyle \operatorname {arcsch} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \operatorname {arccsc} x}
Démonstration
x = sinh y = e y − e − y 2 ⇒ e 2 y − 2 x e y − 1 = 0 ⇒ y = ln ( x ± x 2 + 1 ) x ± x 2 + 1 ⩾ 0 } ⇒ arcsinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\sinh y={\frac {\mathrm {e} ^{y}-\mathrm {e} ^{-y}}{2}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}-2\,x\,\mathrm {e} ^{y}-1=0\Rightarrow y=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\geqslant 0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arcsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} x = cosh y = e y + e − y 2 ⇒ e 2 y − 2 x e y + 1 = 0 ⇒ y = ln ( x ± x 2 − 1 ) bijection : arccosh x ⩾ 0 } ⇒ arccosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\cosh y={\frac {\mathrm {e} ^{y}+\mathrm {e} ^{-y}}{2}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}-2\,x\,\mathrm {e} ^{y}+1=0\Rightarrow y=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{bijection : }}\operatorname {arccosh} x\geqslant 0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arccosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} x = tanh y = e 2 y − 1 e 2 y + 1 ⇒ e 2 y = 1 − x 1 + x ⇒ y = 1 2 ln 1 − x 1 + x ⇒ arctanh x = 1 2 ln 1 − x 1 + x {\displaystyle \,x=\tanh y={\frac {{\mathrm {e} }^{2y}-1}{{\mathrm {e} }^{2y}+1}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}={\frac {1-x}{1+x}}\Rightarrow y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-x}{1+x}}\Rightarrow \operatorname {arctanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-x}{1+x}}} x = coth y = e 2 y + 1 e 2 y − 1 ⇒ e 2 y = x + 1 x − 1 ⇒ y = 1 2 ln x + 1 x − 1 ⇒ arccoth x = 1 2 ln x + 1 x − 1 {\displaystyle \,x=\coth y={\frac {{\mathrm {e} }^{2y}+1}{{\mathrm {e} }^{2y}-1}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}={\frac {x+1}{x-1}}\Rightarrow y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}\Rightarrow \operatorname {arccoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}} x = sech y = 2 e y + e − y ⇒ x e 2 y − 2 e y + x = 0 ⇒ y = ln ( 1 x ± 1 x 2 − 1 ) = ln 1 ± 1 − x 2 x 1 ± 1 − x 2 x ⩾ 1 ⇔ 1 − x ⩾ ∓ 1 − x 2 ⇔ ( 1 − x ) ( 1 − x ) ⩾ ∓ ( 1 − x ) ( 1 + x ) } ⇒ arsech x = ln 1 + 1 − x 2 x {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\operatorname {sech} y={\frac {2}{\mathrm {e} ^{y}+\mathrm {e} ^{-y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,y}-2\,\mathrm {e} ^{y}+x=0\Rightarrow y=\ln \left({\frac {1}{x}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln {\frac {1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\\\qquad {\frac {1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\geqslant 1\Leftrightarrow 1-x\geqslant \mp {\sqrt {1-x^{2}}}\Leftrightarrow {\sqrt {\left(1-x\right)\left(1-x\right)}}\geqslant \mp {\sqrt {\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arsech} x=\ln {\tfrac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}} x = csch y = 2 e y − e − y ⇒ x e 2 y − 2 e y − x = 0 ⇒ y = ln ( 1 x ± 1 x 2 + 1 ) = ln 1 ± 1 + x 2 x 1 x ± 1 x 2 + 1 > 0 } ⇒ { arcsch x = ln ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) = ln 1 + sgn ( x ) 1 + x 2 x {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\operatorname {csch} y={\frac {2}{\mathrm {e} ^{y}-\mathrm {e} ^{-y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,y}-2\,\mathrm {e} ^{y}-x=0\Rightarrow y=\ln \left({\frac {1}{x}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln {\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {1}{x}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}>0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow {\begin{cases}\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)\\\qquad \quad \;\;\,=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} (x){\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\end{cases}}}
Notes et références
Notes ↑ Pour une démonstration du développement de tan(a + b ) , voir par exemple ce chapitre de la leçon « Trigonométrie » sur Wikiversité . Celui de cot(a + b ) se démontre de même. ↑ Voir « Loi des cotangentes » pour une utilisation. ↑ Sous réserve que t soit différent de ±1 , c'est-à-dire x ≠ π / 2 + k π . ↑ Voir plus généralement cette liste d'identités sur Wikiversité . ↑ a et b si le choix de la détermination de l'angle du logarithme complexe est [ 0 ; 2 π [ {\displaystyle [0;2\pi [} , c.-à-d. si ln z = | z | + i θ {\displaystyle \ln z=|z|+\mathrm {i} \,\theta } avec θ ∈ [ 0 ; 2 π [ {\displaystyle \theta \in [0;2\pi [}
Références ↑ (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne) , p. 73, 4.3.45. ↑ Arthur Adam et Francis Lousberg, Espace Math 5e/6e , De Boeck, 2003 (lire en ligne) , p. 144 . ↑ Lionel Porcheron, Le formulaire MPSI , MP , Dunod, 2008 , 4e éd. (lire en ligne) , p. 178 . ↑ a et b Dany-Jack Mercier, L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques , vol. 2, Publibook, 2006 (lire en ligne) , p. 168 . ↑ (en) Martin Erickson, Aha! Solutions , MAA , 2009 (lire en ligne) , p. 30-31 . ↑ Collectif, Objectif Bac - Toutes les matières - Term STI2D , Hachette, 2014 (lire en ligne) , p. 18 . ↑ Mercier 2006 , p. 169. ↑ « Formules de Carnot » (Adam et Lousberg 2003 , p. 143). ↑ a et b Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Mathématiques Tout-en-un pour la Licence - Niveau L1 , Dunod, 2e éd. (lire en ligne) , p. 676 . ↑ (en) Fred Richman , « A Circular Argument », The College Mathematics Journal (en) , vol. 24, no 2, mars 1993 , p. 160-162 (lire en ligne) . ↑ Détaillé dans Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires sur Wikiversité . ↑ arcosh ( i x ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} \left(\mathrm {i} x\right)} et arsinh x {\displaystyle \operatorname {arsinh} x} sur wolframalpha.com. La courbe correspond à arcosh ( i x ) = sgn x ⋅ ( arsinh x + i π 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} (\mathrm {i} x)=\operatorname {sgn} x\cdot \left(\operatorname {arsinh} x+\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}\right)} . ↑ arsech ( i x ) {\displaystyle \operatorname {arsech} \left(\mathrm {i} x\right)} et arcsch x {\displaystyle \operatorname {arcsch} x} sur wolframalpha.com. La courbe correspond à arsech ( i x ) = sgn x ⋅ ( arcsch x − i π 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsech} (\mathrm {i} x)=\operatorname {sgn} x\cdot \left(\operatorname {arcsch} x-\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}\right)} .
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