Fonction de Legendre
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En mathématiques, les fonctions de Legendre, notées Pλ (première espèce) et Qλ (seconde espèce), ainsi que les fonctions associées de Legendre correspondantes, notées Pμ
λ et Qμ
λ, sont des généralisations des polynômes de Legendre et des polynômes associés de Legendre , à des valeurs non-entières de et m.
Définition
Les fonctions associées de Legendre sont les solutions de l’équation générale de Legendre:
où λ et μ sont en général des nombres complexes appelés respectivement le degré et l’ordre de la fonction associée de Legendre. Le cas des fonctions de Legendre correspond à μ = 0 ; si par surcroît λ est un entier positif, ces fonctions se réduisent aux polynômes orthogonaux de Legendre.
Les polynômes associés de Legendre correspondent, eux, au cas où λ et μ sont des entiers (positifs pour λ).
Expressions
La fonction associée de Legendre de première espèce Pμ
λ s'exprime en fonction de la fonction hypergéométrique :
où est la fonction gamma.
L'équation générale de Legendre étant du second ordre, elle admet une autre solution, dite de seconde espèce, notée , et définie par :
Représentations intégrales
Les fonctions de Legendre peuvent s'exprimer sous formes d'intégrales de contour. Ainsi on a :
où le contour est défini comme celui allant des points 1 à z des parties réelles croissantes, sans entourer le point –1. Pour x réel, cette représentation devient :
Références
- Snow, Chester, Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, U. S. Government Printing Office, Washington, D.C.,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, 1942. Disponible à l'adresse [1].
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Legendre Function of the First Kind », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Legendre Function of the Second Kind », sur MathWorld
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