. On appelle parfois la fonction (ou ) la fonction trigamma.
Définition par une intégrale
La fonction polygamma peut être représentée par :
Ceci n'est valable que pour Re (z) > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.
Représentation dans le plan complexe
La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :
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Relation de récurrence
Elle vérifie la relation de récurrence
Théorème de multiplication
Le théorème de multiplication (en) donne
valable pour m > 1 ; et pour m = 0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :
Représentation par série
La fonction polygamma a pour représentation en série :
qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par
On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polygamma function » (voir la liste des auteurs).