Fonction de Kummer

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En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L'une d'elles est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de Kummer et de E. T. Whittaker. Une autre, définie ci-dessous, est reliée à la fonction polylogarithme. Les deux ont été nommées en l'honneur du mathématicien Ernst Kummer.

La fonction de Kummer est définie par

Λ n ( z ) = ∫ 0 z ln n − 1 ⁡ | t | 1 + t d t . {\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\ln ^{n-1}|t|}{1+t}}\;{\rm {d}}t.}

La formule de duplication est

Λ n ( z ) + Λ n ( − z ) = 2 1 − n Λ n ( − z 2 ) {\displaystyle \Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})\,} .

qu'on peut comparer à la formule de duplication du polylogarithme :

Li n ⁡ ( z ) + Li n ⁡ ( − z ) = 2 1 − n Li n ⁡ ( z 2 ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+\operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _{n}(z^{2})} .

Un lien explicite vers le polylogarithme est donné par

Li n ⁡ ( z ) = Li n ⁡ ( 1 ) + ∑ k = 1 n − 1 ( − 1 ) k − 1 ln k ⁡ | z | k ! Li n − k ⁡ ( z ) + ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! [ Λ n ( − 1 ) − Λ n ( − z ) ] . {\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\;{\frac {\ln ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kummer's function » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Leonard Lewin, Structural Properties of Polylogarithms, [détail de l’édition]
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