Fonction d'Euler

Module de ϕ {\displaystyle \phi } dans le plan complexe, coloré de sorte que noir=0, rouge=4.
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Ne doit pas être confondu avec Fonction phi d'Euler.

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Cet article concerne la fonction d'Euler. Pour d'autres objets ou résultats attribués à Euler, voir Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler.

En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par

ϕ ( q ) = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) . {\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}).}

Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de ϕ {\displaystyle \phi } comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer : ϕ ( q ) := ( q , q ) ∞ . {\displaystyle \phi (q):=(q,q)_{\infty }.}

Propriétés

Le coefficient p ( k ) {\displaystyle p(k)} du développement en série formelle de 1 / ϕ ( q ) {\displaystyle 1/\phi (q)} est le nombre de partitions de l'entier k {\displaystyle k} . Formellement,

1 ϕ ( q ) = ∑ k = 0 ∞ p ( k ) q k {\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}} .

L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité

ϕ ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( 3 n − 1 ) / 2 . {\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}.}

Dans cette somme, les nombres n ( 3 n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(3n-1)/2} sont les nombres pentagonaux généralisés.

La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe τ {\displaystyle \tau } de partie imaginaire positive, on définit q = e 2 i π τ {\displaystyle q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }} (c'est le carré du nome (en)), et la fonction êta est

η ( τ ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = q 1 / 24 ϕ ( q ) {\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=q^{1/24}\phi (q)} .

Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :

ϕ ( q ) = ( q ; q ) ∞ {\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }}

Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :

ln ⁡ ( ϕ ( q ) ) = − ∑ n = 1 ∞ 1 n q n 1 − q n {\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}

qui est une série de Lambert avec coefficients − 1 / n {\displaystyle -1/n} . Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :

ln ⁡ ( ϕ ( q ) ) = ∑ m = 1 ∞ b m q m {\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}\quad } avec b m = − ∑ n | m 1 n {\displaystyle \displaystyle \quad b_{m}=-\sum _{n|m}{\frac {1}{n}}} .

La suite des − b m {\displaystyle -b_{m}} est la suite A000203 de l'OEIS.

Références

  • (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 340 p. (ISBN 0-387-90163-9, lire en ligne)
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler function » (voir la liste des auteurs).
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