Figures de Brocard

Les figures de Brocard tirent leur nom du mathématicien français Henri Brocard (1845 -1922).

En réalité, elles ont été trouvées par Jacobi (1804 -1851) et, dès 1816, par Crelle.

Elles permettent de déterminer graphiquement les points de Brocard.

Points de Brocard

Construction géométrique du premier point de Brocard.
Article détaillé : Points de Brocard.

Les points de Brocard du triangle ABC sont les deux points intérieurs P et P' tels que, pour le premier, les angles P A B ^ , P B C ^ , P C A ^ {\displaystyle \displaystyle {{\widehat {PAB}},{\widehat {PBC}},{\widehat {PCA}}}} orientés positivement soient égaux, et négativement pour le second.

Angle de Brocard

Les segments joignant les points de Brocard aux sommets du triangle constituent des isogonales particulières du triangle ABC.

Leur propriété remarquable est de définir toujours le même angle ω, dit angle de Brocard du triangle.

ω = P A B ^ = P B C ^ = P C A ^ = P ′ C B ^ = P ′ B A ^ = P ′ A C ^ {\displaystyle \omega ={\widehat {PAB}}={\widehat {PBC}}={\widehat {PCA}}={\widehat {P'CB}}={\widehat {P'BA}}={\widehat {P'AC}}}

Formules pour l'angle de Brocard

Si A Δ {\displaystyle A_{\Delta }} est l'aire du triangle ABC, on peut calculer l'angle de Brocard à l'aide d'une des formules suivantes :

  • tan ⁡ ω = 4 A Δ a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \tan \omega ={\frac {4\;A_{\Delta }}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
  • cot ⁡ ω = cot ⁡ B A C ^ + cot ⁡ A B C ^ + cot ⁡ A C B ^ , {\displaystyle \cot \omega =\cot {\widehat {BAC}}+\cot {\widehat {ABC}}+\cot {\widehat {ACB}},}
  • sin ⁡ ω = 2 A Δ b 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 {\displaystyle \sin \omega ={\frac {2A_{\Delta }}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}}

Pour cet angle on a : ω ≤ 30 o . {\displaystyle \omega \leq 30^{o}.}

Triangle de Brocard

Les droites de Brocard, soit les céviennes passant par le premier point de Brocard (en rouge) et le second (en bleu), s'intersectent en trois points, les sommets du triangle de Brocard (en noir).

En géométrie, le triangle de Brocard est un triangle associé à un triangle donné, et construit à partir des points de Brocard de ce dernier.

Définition

Les premières (resp. secondes) droites de Brocard d'un triangle étant les droites joignant un sommet au premier (resp. second) point de Brocard, le triangle de Brocard d'un triangle ABC est formé par

  • le point d'intersection de la première droite de Brocard issue de A avec la deuxième droite de Brocard issue de B (en bleu ci-contre)
  • le point d'intersection de la première droite de Brocard issue de B avec la deuxième droite de Brocard issue de C
  • le point d'intersection de la première droite de Brocard issue de C avec la deuxième droite de Brocard issue de A

Propriétés

Le triangle de Brocard a pour cercle circonscrit le cercle de Brocard.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « First Brocard Triangle », sur MathWorld
  • (en) Eric W. Weisstein, « Second Brocard Triangle », sur MathWorld
  • Bernard Gibert, Brocard triangle and relative cubics.
  • Triangles co-Brocardaux
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