Espace T1

Ne doit pas être confondu avec Espace de Fréchet ou Espace de Fréchet-Urysohn.

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En mathématiques, un espace accessible (ou espace T₁, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.

Définition

Un espace topologique E est T₁ si pour tout couple (x, y) d'éléments de E distincts, il existe un ouvert contenant x et pas y.

Propriétés

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

E est T₁ ;
E est T₀ et R₀ ;
pour tout x de E, le singleton {x} est fermé ;
tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
toute partie de E est l'intersection de ses voisinages (ou encore : des ouverts qui la contiennent) ;
tout sous-ensemble fini de E est fermé ;
tout sous-ensemble cofini de E est ouvert ;
pour tout point x, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
tout point limite d'une partie de E est point d'accumulation de cette partie.