Décomposition de Doob-Meyer

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.
Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources ().

Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».

En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La décomposition de Doob-Meyer permet de décomposer un processus stochastique intégrable adapté en une martingale et un processus prévisible :


Soit { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} un processus intégrable { F n } n ∈ N {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} -adapté. La décomposition de Doob-Meyer est définie de la manière suivante :

∀ n ∈ N , X n = X 0 + A n + M n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,X_{n}=X_{0}+A_{n}+M_{n}}

  • A 0 , M 0 := 0 {\displaystyle A_{0},M_{0}:=0}
  • ∀ n ≥ 1 , A n := ∑ k = 1 n E ( Δ X k | F k − 1 ) {\displaystyle \forall n\geq 1,A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1})}
  • ∀ n ≥ 1 , M n := ∑ k = 1 n ( Δ X k − E ( Δ X k | F k − 1 ) ) {\displaystyle \forall n\geq 1,M_{n}:=\sum _{k=1}^{n}(\Delta X_{k}-\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1}))}

Où { M n } n ∈ N {\displaystyle \{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} est une { F n } n ∈ N {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} -martingale et { A n } n ∈ N {\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} est un processus { F n } n ∈ N {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} -prévisible. Cette décomposition est unique.

  • icône décorative Portail des mathématiques