Pour un article plus général, voir nombre complexe.
Cette figure montre qu'un argument n'est pas unique. Ajouter à un argument (i.e. faire un tour de plus) donne toujours un argument.
En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, un argument d’un nombre complexe z est une mesure de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par z (voir la figure ci-contre). La notion d'argument n'a pas de sens pour zéro. On mesure un argument en radians. Il n'y a pas de valeur unique pour un argument puisque les angles sont les mêmes modulo2π. Si l'on souhaite une valeur unique, on peut utiliser la notion d'argument principal, qui est l'unique valeur dans .
Définition
Dans le plan complexe, si z est l'affixe du point M, alors un argument de z correspond à une mesure de l'angle .
Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :
où M est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.
De manière équivalente, un argument de est un nombre réel tel que :
,Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.