Approximation de Cornish-Fisher
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png)
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L'approximation de Cornish-Fisher permet de transformer le quantile, ou une réalisation, d'une loi normale en une réalisation d'une loi dont l'asymétrie et le kurtosis en excès ne sont pas nuls. On la doit à Edmund Alfred Cornish et Ronald Aylmer Fisher[1].
Définition
On approche la réalisation Z de la loi voulue telle que :
Où :
- est la fonction de répartition de la loi Z
- est la fonction de répartition de la loi normale
- est un quantile ou une réalisation de la loi normale
On a :
Où S désigne l'asymétrie de la loi considérée, et K, sa kurtosis en excès.
Domaine de validité
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/CornishFisherValidity.svg/400px-CornishFisherValidity.svg.png)
Pour que cette transformation marche elle doit être bijective. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la dérivée ne s'annule pas, ce qui se traduit par
On a :
Afin de garantir la positivité de ce terme, il faut que le discriminant de cette équation du second degré soit négatif :
Pour que l'inégalité soit vérifiée, il faut que K soit entre les deux racines de cette deuxième équation du second degré, donc qu'elles existent, ce qui est vrai dans le cas :
On a donc ou , soit ou .
Le deuxième cas est impossible, donc on se restreint à l'intervalle . On a alors :
En pratique en finance, K et S sont petits et K est positif (variables leptokurtiques) ; la condition est donc respectée.
Notes et références
- ↑ (en) E. A. Cornish et R. A. Fisher, « Moments and Cumulants in the Specification of Distributions », Revue de l'Institut international de statistique, vol. 5, no 4, , p. 307-320 (JSTOR 1400905)
Liens externes
- (en) Didier Maillard, « A User’s Guide to the Cornish Fisher Expansion » [PDF]
- http://www.yats.com/doc/faits-stylises-ppt.pdf
- http://www.northinfo.com/documents/189.pdf
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