Action d'Einstein-Hilbert

L'action d'Einstein-Hilbert, ainsi désignée en l'honneur d'Albert Einstein et David Hilbert, est un objet mathématique homogène à une action. Elle décrit la dynamique du champ gravitationnel^[1],[2]. Elle est utilisée, en relativité générale, pour dériver le tenseur d'Einstein^[3] et l'équation d'Einstein dans le vide^[2],[3], ce au moyen d'un principe variationnel^[1] appelé principe de moindre action.

L'intégrale^[4] d'action d'Einstein-Hilbert^{[1],[5],[6],[N 1]} est souvent notée ${\displaystyle S_{\mathrm {EH} }}$^{[1],[5],[N 2]}.

Elle est donnée par^[13],[14] :

où :

• ${\displaystyle R}$ est la courbure scalaire de Ricci, définie comme la trace du tenseur de Ricci ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ : ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }={R^{\mu }}_{\mu }}$^[15] ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}}$ est l'élément de volume invariant^[16] :
  • ${\displaystyle g}$ est le déterminant^[16] du tenseur métrique : ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })}$ ;
  • ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$ est l'élément de volume en coordonnées^[16] : ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x=\mathrm {d} x^{0}\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}}$^[17] ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante de Newton pour la gravitation ;
• ${\displaystyle \pi }$ est le nombre pi ;
• ${\displaystyle \kappa }$ est la constante d'Einstein pour la gravitation : ${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$^[18].

Avec ${\displaystyle c=\hbar =1}$, l'action d'Einstein-Hilbert s'écrit^[19] :

${\displaystyle S_{\mathrm {EH} }={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {P} }^{2}\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\;R}$,

où :

${\displaystyle m_{\mathrm {P} }}$ est la masse de Planck réduite^[19], définie par^[19] ${\displaystyle m_{\mathrm {P} }^{2}={\frac {\hbar c}{8\pi G}}}$.

L'action d'Einstein-Hilbert est, par définition, homogène à une action : ${\displaystyle \dim(S)={\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}$^[20],[21].

L'équation aux dimensions est obtenue en considérant que le tenseur métrique ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ est une grandeur sans dimension : ${\displaystyle \dim(g_{\mu \nu })=1}$^[22],[20]. Il en résulte que la dimension du tenseur de Ricci ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ est celle de l'inverse du carré d'une longueur : ${\displaystyle \dim(R_{\mu \nu })={\mathsf {L}}^{-2}}$^[22]. Il en résulte que la courbure de Ricci ${\displaystyle R}$ a la même dimension ${\displaystyle \dim(R)={\mathsf {L}}^{-2}}$^[22]. D'autre part, la dimension de ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$ est celle d'un volume à quatre dimensions : ${\displaystyle \dim(\mathrm {d} ^{4}x)={\mathsf {L}}^{4}}$^[20].

Remarque

Certains manuels définissent l'action d'Einstein-Hilbert avec un facteur ${\displaystyle c^{4}}$ au lieu d'un facteur ${\displaystyle c^{3}}$^[23]. Avec ce choix, la quantité obtenue n'a pas la dimension d'une action^[23].

Supposons que notre théorie ne contienne que l'action d'Einstein-Hilbert ainsi qu'un terme ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ décrivant n'importe quel champ de matière. L'action totale est donc :

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

La variation de l'action par rapport à l'inverse de la métrique doit être nulle pour les solutions, donnant l'équation :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$.

Puisque cette équation tient pour toute variation ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$, cela implique que

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}}$

est l'équation du mouvement pour la métrique. Le membre de droite de l'équation est (par définition) proportionnel au tenseur énergie-impulsion,

${\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$.

pour calculer le membre de gauche de l'équation, nous avons besoin des variations du scalaire de Ricci ${\displaystyle R}$ et du déterminant de la métrique. Elles peuvent être calculées de façon élémentaire comme donné ci-dessous, méthode qui est principalement inspirée de Carroll 2004.

Pour calculer la variation de la courbure de Ricci, on commence par calculer la variation du tenseur de Riemann, puis du tenseur de Ricci. Rappelons que le tenseur de Riemann est localement défini par

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Puisque le tenseur de Riemann ne dépend que des symboles de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$, sa variation peut être calculée comme

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Maintenant, puisque ${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$ est la différence de deux connexions, il s'agit d'un tenseur, dont on peut calculer la dérivée covariante,

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)=\partial _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }}$.

Nous pouvons alors observer que la variation du tenseur de Riemann ci-dessus est exactement égale à la différence de deux tels termes,

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\right)}$.

On peut désormais obtenir la variation du tenseur de Ricci simplement en contractant deux indices dans l'expression de la variation du tenseur de Riemann, et nous obtenons alors l'identité de Palatini:

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right)}$.

La courbure de Ricci est alors définie comme

${\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }}$.

Par conséquent, sa variation par rapport à l'inverse de la métrique ${\displaystyle g^{\sigma \nu }}$ est donnée par

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)\end{aligned}}}$

Dans la seconde ligne, nous avons utilisé la compatibilité de la métrique avec la connexion ${\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}$, et le résultat obtenu précédemment sur la variation du tenseur de Ricci.

Le dernier terme,

${\displaystyle \nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)}$, i.e. ${\displaystyle \nabla _{\rho }A^{\rho }\equiv A^{\lambda }{}_{;\lambda }}$ with ${\displaystyle A^{\rho }=g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }}$,

multiplié par ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$, devient une [dérivée totale], puisque pour tout vecteur ${\displaystyle A^{\lambda }}$ et toute densité de tenseur ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }}$ nous avons:

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A_{;\lambda }^{\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{;\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{,\lambda }}$ or ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)}$

et ainsi par le théorème de Stokes il ne reste d'un terme de bord après intégration. Le terme ne bord n'est en général pas nul, puisque l'intégrande ne dépend pas seulement de ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu },}$ mais aussi de ses dérivées partielles ${\displaystyle \partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }}$; voir l'article termes de bord de Gibbons–Hawking–York pour plus de détails. Néanmoins, lorsque la variation de la métrique ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$ varie dans le voisinage du bord ou lorsqu'il n'y a pas de bords, ce terme ne contribue pas à la variation de l'action. Ainsi, nous obtenons :

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }}$,

en dehors des bords.

On rappelle la différentielle du déterminant

${\displaystyle \delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$,

que l'on peut calculer par exemple via la formule explicite du déterminant et d'un développement limité ^[24]

. Grâce à ce résultat, nous obtenons

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)}$

Dans la dernière égalité, nous avons utilisé le fait que

${\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$

qui suit de la différentielle de l'inverse d'une matrice

${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }}$.

Ainsi, nous concluons que

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }}$.

Maintenant, nous avons toutes les variations nécessaire pour obtenir l'équation du mouvement. On insère les équations calculées dans l'équation du mouvement pour la métrique pour obtenir

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$,

qui est l'équation d'Einstein, et

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

a été choisi de sorte à obtenir la limite non-relativiste souhaitée: la loi universelle de la gravitation de Newton, où ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle.

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Carroll, Sean M. (Dec, 1997). Lecture Notes on General Relativity, NSF-ITP-97-147, 231pp, arXiv:gr-qc/9712019
• [Connes 1997] Alain Connes, « Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral », Astérisque, n^o 241,‎ 1997, exposé n^o 816, p. 313-349 (OCLC 203173298, MR 1472544, zbMATH 0942.46044, lire en ligne [PDF]).
• [Das et DeBenedictis 2012] (en) Anadijiban Das et Andrew DeBenedictis, The general theory of relativity : a mathematical exposition, New York, Springer, hors coll., juin 2012 (réimpr. juillet 2014), 1^re éd., XXVI-678 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-1-4614-3657-7 et 978-1-4899-8717-4, EAN 9781461436577, OCLC 819196172, DOI 10.1007/978-1-4614-3658-4, SUDOC 164718486, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Harko et Lobo 2018] (en) Tiberiu Harko et Francisco S. N. Lobo, Extensions of f (R) gravity : curvature-matter couplings and hybrid metric-Palatini theory, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », novembre 2018, 1^re éd., XVII-456 p., 24,5 cm (ISBN 978-1-108-42874-3, EAN 9781108428743, OCLC 1042212796, DOI doi.org/10.1017/9781108645683, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Hübsch 2015] (en) Tristan Hübsch, Advanced concepts in particle and field theory, Cambridge, CUP, hors coll., juin 2015, 1^re éd., XV-563 p., 25,3 cm (ISBN 978-1-107-09748-3, EAN 9781107097483, OCLC 935796660, DOI 10.1017/CBO9781316160725, Bibcode 2015acpf.book.....H, SUDOC 200553526, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. 2 : Astrophysics and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., mars 2018, 1^re éd., XIV-820 p., 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Padmanabhan 2010] (en) Thanu Padmanabhan, Gravitation : foundations and frontiers, Cambridge, CUP, hors coll., janvier 2010, 1^re éd., XXVIII-700 p., 17,9 × 25,4 cm (ISBN 978-0-521-88223-1, EAN 9780521882231, OCLC 672212945, BNF 42511898, DOI 10.1017/CBO9780511807787, Bibcode 2010grav.book.....P, SUDOC 143152386, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Rovelli 2022] Carlo Rovelli (trad. de l'anglais par Marc Lachièze-Rey), Relativité générale : l'essentiel : idées, cadre conceptuel, trous noirs, ondes gravitationnelles, cosmologie et éléments de gravité quantique [« General relativity : the essentials »], Malakoff, Dunod, coll. « Quai des sciences », septembre 2022, 1^re éd., 201 p., 14 × 21,5 cm (ISBN 978-2-10-084203-2, EAN 9782100842032, OCLC 1346096071, BNF 47119408, SUDOC 264438132, présentation en ligne, lire en ligne). 

• [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup / physique », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Basdevant 2022] Jean-Louis Basdevant, Principes variationnels de la physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, coll. « LMD / physique », avril 2022, 4^e éd., 206 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-3981-1, EAN 9782807339811, OCLC 1314120244, BNF 47014413, SUDOC 262224887, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves, Boca Raton, CRC, hors coll., décembre 2020, 1^re éd., XVIII-475 p., 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1247682853, DOI 10.1201/9780429491405, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael Hobson P., George P. Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, révision scientifique de Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Supérieur, coll. « Noire », décembre 2009, 1^re éd., XX-554 p., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Provost, Raffaelli et Vallée 2019] Jean-Pierre Provost, Bernard Raffaelli et Gérard Vallée, Mathématiques en physique : concepts et outils : cours et applications, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup / mathématiques », janvier 2019, XIV-366 p., 17,5 × 25 cm (ISBN 978-2-10-079023-4, EAN 9782100790234, OCLC 1083672225, BNF 45652597, SUDOC 233556478, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Poisson et Will 2014] (en) Eric Poisson et Clifford M. Will, Gravity : newtonian, post-newtonian, relativistic, Cambridge, CUP, hors coll., mai 2014, 1^re éd., XIV-780 p., 19,3 × 25,3 cm (ISBN 978-1-10-703286-6, EAN 9781107032866, OCLC 881740360, DOI 10.1017/CBO9781139507486, Bibcode 2014grav.book.....P, S2CID 119067447, SUDOC 178990973, présentation en ligne, lire en ligne).

• [Bambi 2018] (en) Cosimo Bambi, Introduction to general relativity : a course for undergraduate students of physics, Singapour, Springer, coll. « Undergraduate lecture notes in physics », 2018 (réimpr. 2020), 1^re éd., XVI-335 p., 24 cm (ISBN 978-981-13-1089-8, EAN 9789811310898, OCLC 1049559215, DOI 10.1007/978-981-13-1090-4, SUDOC 229495745, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Romero et Vila 2013] (en) Gustavo E. Romero et Gabriela S. Vila, Introduction to black hole astrophysics, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 876), septembre 2013, 1^re éd., XVIII-318 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-642-39595-6, EAN 9783642395956, OCLC 869343537, DOI 10.1007/978-3-642-39596-3, Bibcode 2014LNP...876.....R, SUDOC 175903727, présentation en ligne, lire en ligne).

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Walz 2016] (en) Guido Walz (éd.), Lexikon der Mathematik, t. II : Eig bis Inn, Berlin et Heidelberg, Springer Spektrum, novembre 2016, 2^e éd. (1^re éd. mai 2001), VII-495 p., 16,6 × 24 cm (ISBN 978-3-662-53503-5, EAN 9783662535035, OCLC 313893770, DOI 10.1007/978-3-662-53504-2, présentation en ligne, lire en ligne). 

• Principe de moindre action
• Relativité générale
• Courbure
• Constante cosmologique

• [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introduction à la relativité générale, donné en 2^e année du master Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France, année universitaire 2013-2014), Meudon, observatoire de Paris, mars 2014, 341 p. (HAL cel-00366315, lire en ligne [PDF]). 
• [Tong 2021] (en) David Tong, General relativity (cours d'introduction à la relativité générale, de niveau master), Cambridge, université de Cambridge, département de mathématiques appliquées et de physique théorique, 2019, 282 p. (présentation en ligne, lire en ligne [PDF]). 

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