Équation de Born-Landé

L'équation de Born-Landé est un moyen de calculer l'énergie réticulaire d'un composé ionique cristallin. En 1918^[1] Max Born et Alfred Landé proposent une expression de l'énergie réticulaire dérivant du potentiel électrostatique du réseau et d'un terme d'énergie potentielle répulsive^[2].

${\displaystyle E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$ (en joules par mole)

avec:

${\displaystyle N_{A}}$ = nombre d'Avogadro

${\displaystyle M}$ = constante de Madelung, liée à la géométrie du réseau.

${\displaystyle z^{+}}$ = charge du cation divisée par ${\displaystyle e}$ (sans unité)

${\displaystyle z^{-}}$ = charge de l'anion divisée par ${\displaystyle e}$ (sans unité)

${\displaystyle e}$ = charge de l'électron, 1,602 2 × 10⁻¹⁹ C (en coulombs)

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ = permittivité du vide : ${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}}$ = 1,112 × 10⁻¹⁰ C² J⁻¹ m⁻¹

${\displaystyle r_{0}}$ = distance entre l'ion et son plus proche voisin

${\displaystyle {n}}$ = facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12, déterminé théoriquement ou expérimentalement par mesure de compressibilité du solide (sans unité)^[3].

Le cristal ionique est modélisé comme étant un assemblage de sphères élastiques compressées ensemble par les attractions électrostatiques mutuelles des ions. Les distances à l'équilibre entre ions proviennent de répulsions à courte portée qui finissent par s'opposer aux attractions.

Le potentiel électrostatique ${\displaystyle E_{c}}$ entre une paire d'ions de même charge ou de charge opposée est donné par :

${\displaystyle E_{c}=-{\frac {z^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}}$

où:

${\displaystyle z^{+}}$ = charge du cation

${\displaystyle z^{-}}$ = charge de l'anion

${\displaystyle e}$ = charge de l'électron en coulombs, 1,602 2 × 10⁻¹⁹ C

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ = permittivité du vide

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}}$ = 1,112 × 10⁻¹⁰ C² J⁻¹ m⁻¹

${\displaystyle r_{0}}$ = distance entre les ions

Pour un réseau la somme des interactions entre tous les ions donne l'énergie de Madelung ${\displaystyle E_{M}}$ :

${\displaystyle E_{M}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}}$

avec:

${\displaystyle z}$ = charge des ions

${\displaystyle e}$ = 1,602 2 × 10⁻¹⁹ C

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}}$ = 1,112 × 10⁻¹⁰ C² J⁻¹ m⁻¹

${\displaystyle M}$ = constante de Madelung, liée à la géométrie du cristal

Born et Lande ont suggéré que la répulsion entre ions serait proportionnelle à ${\displaystyle 1/r^{n}}$ (où r est la distance entre ions). L'énergie répulsive ${\displaystyle E_{R}}$, devient :

${\displaystyle E_{R}={\frac {B}{r^{n}}}}$

où

${\displaystyle B}$ = constante

${\displaystyle r}$ = distance entre ions

${\displaystyle n}$ = facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12

L'énergie totale du réseau peut s'exprimer comme étant la somme des potentiels attractifs et répulsifs :

${\displaystyle E=-{\frac {z^{+}z^{-}e^{2}M}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}+{\frac {B}{r^{n}}}}$

et l'énergie minimale (à la distance d'équilibre) est donnée par :

${\displaystyle E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

L'équation de Born-Landé donne une valeur satisfaisante d'énergie réticulaire^[2].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Born-Landé equation » (voir la liste des auteurs).

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