Riemannin–Stieltjesin integraali
Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.
Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa
,
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.
Integraali voi myös olla muotoa
.
Määritelmä
Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa , missä
a= ≤ ≤ ≤ = b.
Merkitään
= , missä (i = 1, , n).
Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan
= sup f(x) ( ≤ x ≤ )
= inf f(x) ( ≤ x ≤ ).
Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä
α = α() - α().
On selvää, että α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan
U (P, f, α) = ,
L (P, f, α) = .
Jos
,
missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään
tai . Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi :n suhteen yli välin [a,b].
Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin
Merkitsemällä nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:
.
Yleisissä tapauksissa :n ei tarvitse olla jatkuva.
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.
Muuttujan vaihto
Olkoon funktio välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti
,
jos .
Silloin funktio välillä S ja
.
Lineaariominaisuudet
Jos ja välillä [a,b], niin
välillä [a,b] ja
.
Katso myös
- Lebesgue–Stieltjes-integraali
Lähteet
![]() | Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa. |
- Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953 lähde tarkemmin?
- Laitinen T., Riemann-Stieltjes-integraali, Pro gradu -työ, 2006 lähde tarkemmin?
Kirjallisuutta
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.