Nilpotentti
Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että xn = 0.
Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce[1] otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.selvennä
Esimerkkejä
- Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi
- on nilpotentti, koska A3 = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.
- Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 32 on kongruentti 0 modulo 9.
- Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c2 = (ba)2 = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:
- Tässä AB = 0, BA = B.
- Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion
Ominaisuudet
Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.
n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tn.
Jos x on nilpotentti, niin silloin alkiolla 1 - x on olemassa käänteisalkio , koska xn = 0 edellyttää, että
Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan yksikköalkio, kun ne kommutoivat.
Vaihdannainen rengas
Vaihdannaisen renkaan nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin ; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin , koska . Joten sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.
Jos ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida :t potenssien mukaan: : saadaan nollasta poikkeava rengas . Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne , jotka toteuttaa [2]. Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos ei ole nilpotentti niin ei kuulu , jollakin :n alkuideaalilla . Siksi on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus[3].
Lähteet
Kirjallisuutta
- Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Alkuperäinen artikkeli: en:Nilpotent