Kosketuspiste

Topologisen avaruuden ${\displaystyle X}$ osajoukon ${\displaystyle A}$ kosketuspisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden ${\displaystyle X}$ pistettä ${\displaystyle x}$, että kaikki ${\displaystyle x}$:n ympäristöt ${\displaystyle U}$ sisältävät ainakin yhden ${\displaystyle A}$:han kuuluvan pisteen. Formaalisti: ${\displaystyle x\in X}$ ja ${\displaystyle A\subset X}$ siten, että kaikilla ${\displaystyle x}$:n ympäristöillä ${\displaystyle U}$ pätee ${\displaystyle U\cap A\neq \emptyset }$. Pisteen ${\displaystyle x}$ ei ole välttämätöntä kuulua ${\displaystyle A}$:han.

Minkä tahansa osajoukon jokainen piste on samalla sen kosketuspiste, koska se kuuluu jokaiseen ympäristöönsä. Lisäksi joukon A kosketuspisteitä ovat kaikki joukon reunapisteet, jotka kuitenkin voivat joko kuulua tai olla kuulumatta A:han.

A:n kosketuspisteiden joukkoa sanotaan A:n sulkeumaksi:

${\displaystyle {\overline {A}}=\{x\in X:x\ on\ A\colon n\ kosketuspiste\}}$

Jokainen joukko ${\displaystyle A}$ on siis sulkeumansa osajoukko: ${\displaystyle A\subset {\overline {A}}}$. Jos joukon A kaikki kosketuspisteet kuuluvat A:han eli A on itsensä sulkeuma, A on suljettu joukko, ${\displaystyle A={\overline {A}}}$.

Sulkeumaa A saatetaan merkitä myös muilla tavoin: cl(A), Cl(A) tai ${\displaystyle \scriptstyle A^{-}}$.

• Avoimen välin ]a,b[ kosketuspisteitä ovat kaikki välillä olevat pisteet sekä myös sen päätepisteet a ja b, vaikka ne eivät kuulu avoimeen väliin.

• Cl ([0,1[) ∩ Cl (]1,2]) = [0,1] ∩ [1,2] = {1}

• Cl ([0,1[ ∩ ]1,2]) = Cl (${\displaystyle \varnothing }$) = ${\displaystyle \varnothing }$.

Joukon A kasautumispiste on piste x, jonka jokainen ympäristö sisältää x:n lisäksi jonkin muunkin A:han kuuluvan pisteen. Jokainen kasautumispiste on siis samalla kosketuspiste, mutta joukolla saattaa olla myös erakkopisteitä, jotka kuuluvat joukkoon ja ovat myös sen kosketuspisteitä, mutta eivät kasautumispisteitä.^[1][2]

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.
• Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2005. ISBN 951-745-209-8.

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.