Kaksinkertaista integraalia voidaan käyttää kolmiulotteisen kappaleen tilavuuden määrittämiseen. Kuvan esimerkissä pinnan alle jäävä tilavuus saadaan integroimalla funktio suorakaiteen muotoisen pohjan pinta-alan yli.
Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.[1]
Kaksiulotteisen avaruuden osajoukoissa määriteltyjen funktioiden integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi[1] ja kolmiulotteisen avaruuden osajoukoissa määriteltyjen funktioiden integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi.[2] Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.[1]
Sisällys
1Merkintätavoista
2Määritelmä
2.1Kaksinkertainen integraali
2.2Kolmin- tai useammankertainen integraali
2.3Integrointi yleisen joukon yli
3Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia
4Integrointimenetelmiä
4.1Symmetrioiden käyttö
4.1.1Esimerkki 1
4.1.2Esimerkki 2
4.2Iterointi
4.2.1Esimerkki 3
4.2.1.1Esimerkki 3a:
4.2.1.2Esimerkki 3b:
4.2.2Esimerkki 4
4.2.3Esimerkki 5
4.3Muuttujanvaihto
4.3.1Esimerkki 6
4.3.2Esimerkki 7
5Käytännön sovelluksia
6Katso myös
7Lähteet
Merkintätavoista
Tavanomaista, välillä määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:
.
Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion integraalia yli tason (merkinnästä ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:
.[1]
Vastaavasti kolmen muuttujan funktion integraalia yli avaruuden merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:
.[1]
Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa , missä , , määritellyn funktion integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:
,[3]
.[3]
Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):
, tai , [3][4]
missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää . Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.
Määritelmä
Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä [1]. Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä [4]. Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.
Kaksinkertainen integraali
Suorakulmion (tummennettu alue) ositus pienemmiksi suorakulmioiksi , missä ja .
Olkoon suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja rajoitettu kuvaus. Jos :hen kuuluvat kaikki pisteet siten, että ja , niin :hen voidaan määritellä ositus siten, että
Ositus koostuu :stä suorakulmiosta , missä ja , jotka edelleen koostuvat pisteistä , missä ja . Suorakulmion pinta-ala on
ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla
.
Määritellään osituksen suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:
.
Valitaan jokaisesta suorakulmiosta mielivaltainen piste ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:
.
Suorakulmio muodostaa suorakulmaisen laatikon pohjan. Laatikon korkeus on . Riemannin summa on kaikkien näiden laatikoiden tilavuuksien summa.
Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio ja korkeus on funktion arvo pisteessä (siis mikäli ). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion ja funktion kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta.[1] Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja pienennetään (jolloin jaon normi pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että .[1] Lopullinen määritelmä kuuluu:
Funktio on integroituva suorakulmion yli ja sillä on kaksinkertainen integraali
pätee kaikille :n osituksille , joille sekä kaikkien osajoukkojen kaikissa pisteissä .[1]
Merkintä tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa
,
mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.[1]
Kolmin- tai useammankertainen integraali
Olkoon , . Joukkoon avaruuden kompakti väli [4] (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi rajoitettu funktio. Jos , niin välin jako on:
.
Ts. väli voidaan esittää :n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) unioinina. Jos jokaiselle on olemassa välin jako , niin joukon jako on:
.
Jako määrää kappaletta kompakteja jakovälejä , jotka osittavat välin . Merkitään mielivaltaista joukon pistettä sekä kaikilla :
ja
(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon liittyvä alasumma kaavalla
ja vastaavasti jakoon liittyvä yläsumma kaavalla
.
Joukolle voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene.[4] Näin ollen, jos on välin jako, on :n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon jakopisteet) ja on kummankin edellisen jaon alajako, niin:
[4]
Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos on joukon mielivaltainen jako, niin aina
.
Tällöin funktio on (Riemann-)integroituva (joukossa tai joukon yli), jos
.[4]
Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon , ja on rajoitettu funktio. Tällöin funktio on integroituva, jos ja vain, jos kaikillaon olemassa välin jako siten, että
Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue ja funktio rajoitettu. Määritellään funktio siten, että:
Jos on integroituva yli :n, niin myös funktio on integroituva yli :n ja:
.[1][4]
Integraalin arvo ei riipu joukon valinnasta, kunhan .[4]
Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia
Olkoon seuraavassa , , , funktiot ja integroituvia funktioita joukossa sekä ja vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:
(merkintä tarkoittaa joukon sisäpisteiden joukkoa).[1]
Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.
Esimerkki 1
Olkoon integrointialue suorakulmio , . Tällöin
Esimerkki 2
Määritetään integraalin arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on -tason origokeskinen yksikkökiekko (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:
Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio on pariton funktio, niin kuvaajan ja -tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa ja . Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin . Vastaavasti, funktio on myös pariton, joten . Näin ollen
Iterointi
Alue on säännöllinen -suunnassa, muttei -suunnassa. Alue on säännöllinen -suunnassa, muttei -suunnassa.
Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue on
säännöllinen -suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat ja , sekä mikä tahansa -akselin suuntainen suora leikkaa alueen reunan korkeintaan kahdesti.[5]
säännöllinen -suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat ja , sekä mikä tahansa -akselin suuntainen suora leikkaa alueen reunan korkeintaan kahdesti.[5]
Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue on säännöllinen -suunnassa ja sitä rajoittavat suorat ja sekä käyrät ja siten, että kaikilla . Funktion kuvaajan ja -tason väliin jäävä avaruus voidaan ''viipaloida'' -tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis ) pitkin -akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:
Integroitaessa -suunnassa säännöllisen alueen yli funktion kuvaajan ja -tason väliin jäävä alue ''viipaloidaan'' -akselia vastaan kohtisuorasti.
.[5]
Tällöin kaksinertainen integraali saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala ja paksuus ) tilavuudet suorien ja välillä:
.[5]
Samaa integraalia voidaan merkitä myös:
tai
.[5]
Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:
Jos on rajoitettu ja säännöllinen -suunnassa (, ) sekä on jatkuva funktio, niin
.[5]
Jos on rajoitettu ja säännöllinen -suunnassa (, ) sekä on jatkuva funktio, niin
.[5]
Esimerkki 3
on neliö, jonka määrittelevät rajat ja . Määritetään neliön ja tason väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue on säännöllinen sekä - että -suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.
Esimerkki 3a:
Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön rajoittaman kappaleen tilavuus on:
Esimerkki 3b:
Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön rajoittaman kappaleen tilavuus on:
Esimerkki 4
Alue on yksinkertainen sekä - että -suunnissa.
Ratkaistaan itegraali , missä aluetta rajaavat suorat ja sekä käyrä (tai ). Alue on säännöllinen sekä - että -suunnissa. Koska funktiolle , ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan -suunnassa:
Esimerkki 5
Olkoon suorakulmainen laatikko siten, että , ja , missä , ja ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali . Avaruus ''viipaloidaan'' nyt (esimerkiksi) -tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan suhteen. Nämä ''viipaleet'' ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:
Muuttujanvaihto
Koordinaatistomuunnoksessa suorat ja kuvautuvat käyriksi ja -tasossa. Piste kuvautuu pisteeksi .
Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujanvaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien ja sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat ja voidaan esittää kahden muun muuttujan, ja , funktioina:
Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi -tason osajoukolta -tason osajoukolle . Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi.[6] Tällöin on olemassa käänteismuunnos
pisteessä , niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin
Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:
[6]
Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella):
Olkoon ja injektioita -tason osajoukolta -tason osajoukolle . Olkoon funktioilla ja olemassa joukossa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien ja suhteen. Jos funktio on integroituva :ssä ja jos , niin:
[6][7]
Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:
Olkoon , ja injektioita -avaruuden osajoukolta -avaruuden osajoukolle . Olkoon funktioilla , ja olemassa joukossa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien , ja suhteen. Jos funktio on integroituva :ssä ja jos , niin:
[8][9]
Tässä Jacobin determinatti on:
Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle:
Olkoon kuvaus avoimelta joukolta avoimelle joukolle siten, että Jacobin determinantti
.
Olkoon rajoitettu :n osajoukko ja funktio integroituva kuvajoukossa . Tällöin funktio
on integroituva :ssä ja
.[10]
Esimerkki 6
Sama integrointialue kuvattuna vasemmalla karteesisilla koordinaateilla ja oikealla napakoordinaateilla
Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:
missä ja (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on
.
Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.
Ratkaistaan integraali , missä integrointialue on -akselin ja suoran väliin jäävä osa ympyrärenkaasta . Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:
Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on ja ulkosäde ja jota raoittavat suorat ja . Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti sekä ja . Integraali on tällöin:
missä käytettiin tietoa [11].
Esimerkki 7
Määritetään ellipsoidin tilavuus, kun :n määrittelee yhtälö
,
missä , ja ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa
↑ abcdefghijklmnopqrAdams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus: A Complete Course, 8. painos, s. 807−811. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)