Eulerin suora

Eulerin suora on geometriassa eräiden kolmion merkillisten pisteiden kautta kulkeva suora. Ensimmäiset Eulerin suoralla tunnetut pisteet olivat kolmion painopiste, kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion ortokeskus. Nykyään tunnetaan muitakin merkillisiä pisteitä, jotka sijaitsevat Eulerin suoralla. Suora on nimetty Leonhard Eulerin mukaan.^[1][2][3]

Kolmion merkilliset pisteet tunneettiin jo antiikin kreikassa. Silloin oli huomattu, että kolmion korkeusjanat leikkasivat toisensa aina samassa pisteessä, oli kolmion muoto mikä tahansa. Tätä ominaisuutta pidettiin "merkillisenä". Myös kolmion kulmanpuolittajien ja keskinormaalien tiedettiin tekevän näin.

Vasta klassisella ajalla löydettiin uusia "merkillisiä pisteitä", joista jotkin olivat keskenään samalla suoralla. Eulerin suoran lisäksi tunnetaan esimerkiksi Nagelin suora, Gergonnen suora ja Soddyn suora, joiden nimet ovat lähteistään vapaasti suomennettuja.^[4][5][6] Nämä suorat kuuluvat suurempaan suorien joukkoon, josta useimmat ovat nimeämättömiä suoria.^[7]

Nykyään merkillisiä pisteitä tunnetaan yli 5 000 ja Eulerin suoralle niistä osuu yli 100. Merkilliset pisteet on luetteloitu muun muassa Kimberlingin merkillisten pisteiden ensyklopediassa tunnuksillä ${\displaystyle \scriptstyle X_{i}}$, missä i on pisteen indeksi eli järjestysnumero. Eulerin suoran merkitys on ainakin historiallinen, koska se on ensimmäinen tällainen havaittu suora.^[2]

Eulerin suoralta tunnettiin ensin keskinormaalien leikkauspiste (O = ${\displaystyle \scriptstyle X_{3}}$), korkeusjanojen leikkauspiste eli ortokeskus (H = ${\displaystyle \scriptstyle X_{4}}$) ja mediaanien leikkauspiste eli kolmion painopiste (G = ${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$). Näistä ${\displaystyle \scriptstyle X_{3}}$ on samalla kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Neljäs tunnettu piste Eulerin suoralla on yhdeksän pisteen ympyrän (N = ${\displaystyle \scriptstyle X_{5}}$) keskipiste.^[2]

Tasasivuisessa kolmiossa pisteet ${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$, ${\displaystyle \scriptstyle X_{3}}$, ${\displaystyle \scriptstyle X_{4}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle X_{5}}$ yhtyvät yhdeksi pisteeksi. Muissa kolmioissa ne ovat aina erillään toisistaan. Pisteiden välimatkojen suhteet säilyvät samoina, vaikka referenssikolmion muoto muuttuisikin. Mikäli mukaan otetaan vielä yksi merkillinen piste, de Longchampsin piste (L = ${\displaystyle \scriptstyle X_{20}}$), suhtautuvat järjestettyjen pisteiden ${\displaystyle \scriptstyle X_{20}}$−${\displaystyle \scriptstyle X_{3}}$−${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$−${\displaystyle \scriptstyle X_{5}}$−${\displaystyle \scriptstyle X_{4}}$ eli L−O−G−N−H välimatkat suhdeluvuilla 6−2−1−3.^[2]

Eulerin suora leikkaa Soddyn suoran de Longchampsin pisteessä (${\displaystyle \scriptstyle X_{20}}$) ^[5], Gergonnen suoran Evansin pisteessä ${\displaystyle \scriptstyle X_{1375}}$ ^[4] ja Nagelin suoran painopisteessä G eli ${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$.^[6]

Olkoon R, S, T kolmion ABC sivujen keskipisteet, H ABC:n ortokeskus, O ABC:n ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja M ABC:n keskijanojen leikkauspiste. Silloin jana RO on kohtisuorassa janan ST kanssa, jana SO kohtisuorassa janan RT kanssa, joten O on RST ortokeskus ja ABC on yhdenmuotoinen ABC:n kanssa. Lisäksi AR ja ST ovat suunnikkaan ATRS lävistäjät, joten ne puolittavat toisensa. Tästä seuraa, että M on myös kolmion RST keskijanojen leikkauspiste. Yhdenmuotoisuudesta seuraa, että molemmissa kolmioissa OMR ja HMA kärjen, ortokeskuksen ja painopisteen muodostamat kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Siis kulma OMR = kulma HMA. Tämä tarkoittaa, että O, M ja H ovat samalla suoralla.

Vuonna 1765 Leonhard Euler osoitti, että kaikissa kolmioissa ortokeskus, ympäröivän ympyrän keskipiste ja painopiste ovat kollineaarisia.^[8]