Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.
Sisällys
1Perusmuoto
2Brahmaguptan kaavan todistus
3Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa
4Erikoistapaus
5Lähteet
6Aiheesta muualla
Perusmuoto
Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:
missä s on nelikulmion piirin puolikas:
[1][2]
Brahmaguptan kaavan todistus
Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion pinta-ala + kolmion pinta-ala:
Koska on jännenelikulmio, on Siis joten
Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin ja saadaan
Sijoittamalla (koska kulmat ja ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan
Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan
joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa
Koska on
ja lopulta
Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa
Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:
missa on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on , voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.
Erikoistapaus
Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.
↑Rajesh, Sadagopan: I dare to find a proof : Area of a Cyclic Quadrilateral : Brahmagupta’s Theorem. At Right Angles, Heinäkuu 2013, 2. vsk, nro 2. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 13.2.2021. (englanniksi) (Arkistoitu – Internet Archive)
Aiheesta muualla
Brahmagupta's Formula Wolfram MathWorld. Viitattu 13.2.2021. (englanniksi)