Minor (aljebra lineala)

Aljebra linealean, minorra matrize batetik errenkada eta zutabe bana kenduta lortzen den matrize karratuaren determinantea da. Formalki, M_ij i-garren errenkada eta j-garren zutabea kenduta sortzen den matrizearen determinantea da.

Izan bedi A matrizea ${\displaystyle m\times n}$ neurrikoa eta ${\displaystyle k}$ zenbaki osoa ${\displaystyle 0<k\leq \min\{m,n\}}$, ${\displaystyle k\times k}$ ordenako ${\displaystyle A}$ ren minorea, ${\displaystyle k\times k}$ erako matrize baten determinantea da, ${\displaystyle A}$ri ${\displaystyle m-k}$ lerro eta ${\displaystyle n-k}$ zutabe ezabatuz lortua.

${\displaystyle {m \choose k}}$

era daudenez ${\displaystyle k}$ lerro hautatzeko, guztira dauden ${\displaystyle m}$ zutabe horietatik, eta

${\displaystyle {n \choose k}}$

era daudenez ${\displaystyle k}$ zutabe aukeratzeko ${\displaystyle n}$ zutabetatik, guztira

${\displaystyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

minore daude ${\displaystyle k\times k}$ neurrikoak.

${\displaystyle n\times n}$ neurriko ${\displaystyle A}$ matrize karratu baten ${\displaystyle (i,j)}$ minorea (maiz ${\displaystyle M_{ij}}$ eran adierazia), ${\displaystyle A}$ matrizearen ${\displaystyle i}$garren lerroa eta ${\displaystyle j}$garren zutabea ezabatuz lortzen den ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ matrizearen determinante gisan definitzen da. ${\displaystyle (i,j)}$ minoreari ${\displaystyle (i,j)}$garren minor edo ${\displaystyle ij}$ minor ere deitu ohi zaio.

${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle A}$ matrizeko ${\displaystyle a_{ij}}$ elementuari dagozkion indizeak ezabatuz ere lor daiteke, kasu horretan ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ren minorea dela esaten dugu.

${\displaystyle A}$ matrize karratuari lerro bakar bat eta zutabe bakar bat ezabatuz eratzen den minoreari lehen minor deritzo, adibidez ${\displaystyle M_{ij}}$ matrizea. Bi lerro eta bi zutabe ezabatzean lortzen denari, berriz, bigarren minor deritzo.

Matrize hau emanda:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}}$

M₂₃ minorra (2. errenkada eta 3. zutabea kenduta) honela lortzen da:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$ → ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13}$

Beraz, M₂₃ = 13 da.

• Datuak: Q1341061