Wesentlich surjektiver Funktor

Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Ein Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ zwischen zwei Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ein Objekt ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ existiert, so dass ${\displaystyle F(C)}$ isomorph ist zu ${\displaystyle D}$.^[1]

• Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.^[2]
• Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ erzeugte volle Unterkategorie von ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ äquivalent zu ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ist.
• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ die Kategorie der Vektorräume ${\displaystyle K^{n}}$ (im Sinne der ${\displaystyle n}$-fachen direkten Summe), ${\displaystyle n}$ Kardinalzahl, und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Kategorie aller ${\displaystyle K}$-Vektorräume, so ist die Einbettung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der linearen Algebra ist jeder ${\displaystyle K}$-Vektorraum isomorph zu einem ${\displaystyle K^{n}}$.
• Ist ${\displaystyle K}$ der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Kategorie der Hilberträume über ${\displaystyle K}$ mit den isometrischen Isomorphismen und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor ${\displaystyle \ell ^{2}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ wesentlich surjektiv.

1. ↑ Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Seite 130
2. ↑ Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Satz 7.5