Trisektrix von Longchamps
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Longchamps_trisektrix.svg/330px-Longchamps_trisektrix.svg.png)
Die Trisektrix von Longchamps ist eine nach dem französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906) benannte ebene Kurve, die zur Dreiteilung von Winkeln verwendet werden kann (daher Trisektrix).
Definition
Auf einem Kreis mit Mittelpunkt und Durchmesser rotiert der Punkt mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit in positiver Winkelrichtung und der Punkt mit doppelter Geschwindigkeit in der entgegengesetzten Richtung. Dabei startet der Punkt im Punkt und der Punkt am anderen Ende des Durchmessers im Punkt . Die Kreistangenten in den Punkten und schneiden sich in einem Punkt . Die Ortskurve von Punkt ist die Trisektrix von Longchamps.
Gleichungs- und Parameterform
Für einen Kreis mit Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, erhält man die folgenden Gleichung in Polarkoordinaten:
- .
Für kartesische Koordinaten ergibt sich dann die folgende Gleichung:
- .
Als Parameterkurve in kartesischen Koordinaten erhält man mit trigonometrischen Funktionen:
- .
Ebenfalls möglich ist die Darstellung als Parameterkurve in kartesischen Koordinaten mit rationalen Funktionen:
- .
Eigenschaften
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Longchamps_trisektrix4.svg/330px-Longchamps_trisektrix4.svg.png)
Die Trisektrix von Longchamps besitzt drei Asymptoten und drei Symmetrieachsen.
- Asymptoten
- ,
- .
- Symmetrieachsen
Eine Inversion der Trisektrix an dem Kreis aus ihrer Definition liefert eine Trifolium-Kurve.
Literatur
- Gino Loria: Spezielle algebraische und transscendente Ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Teubner, 1902, S. 87–88
- Heinrich Wieleitner: Spezielle Ebene Kurven. G. J. Göschen, Leipzig 1908, S. 47
- Vladimir Rovenski: Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE. Springer, 2013, ISBN 9781461221289, S. 70
- Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 355
Weblinks
- Longchamps trisectrix. auf mathcurve.com