Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex n {\displaystyle n} eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge λ {\displaystyle \lambda } des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte.[1][2] Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7
Koeffizient Wert
B1 1,03961212
B2 0,231792344
B3 1,01046945
C1 6,00069867·10−3 μm2
C2 2,00179144·10−2 μm2
C3 103,560653 μm2
Darstellung des Brechungsindex von Borsilikatglas (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:

n 2 ( λ ) = 1 + B 1 λ 2 λ 2 − C 1 + B 2 λ 2 λ 2 − C 2 + B 3 λ 2 λ 2 − C 3 {\displaystyle n^{2}(\lambda )\,=\,1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}}

mit B1,2,3 und C1,2,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B1,2,3 sind dimensionslos und die C1,2,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben.

Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als ± 5 ⋅ 10 − 6 {\displaystyle \pm 5\cdot 10^{-6}} .

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:

n 2 ( λ ) = 1 + ∑ i = 1 m B i λ 2 λ 2 − C i {\displaystyle n^{2}(\lambda )\,=\,1+\sum _{i=1}^{m}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}

Setzt man C i = λ i 2 {\displaystyle C_{i}=\lambda _{i}^{2}} , so lassen sich die λ i {\displaystyle \lambda _{i}} als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

Siehe auch

  • Achromat
  • Apochromat
  • Chromatische Aberration.

Einzelnachweise

  1. ↑ Dirk Poelman, Philippe Frederic Smet: Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review. In: Journal of Physics D: Applied Physics. Band 36, Nr. 15, 2003, S. 1850–1857, doi:10.1088/0022-3727/36/15/316. 
  2. ↑ Wolfgang von Sellmeier: Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge in Spectrum einiger Substanzen. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 143, 1871, S. 272–282, doi:10.1002/andp.18712190612 (Digitalisat auf Gallica).