Satz von Schinzel

Sei k = 2 {\displaystyle k=2} , also n = 2 k = 4 {\displaystyle n=2k=4} . Dieser Kreis geht durch genau n = 4 {\displaystyle n=4} Punkte, gegeben durch den Satz von Schinzel. Er hat den Mittelpunkt M ( 1 2 , 0 ) {\displaystyle M({\tfrac {1}{2}},0)} und den Radius r = 5 2 {\displaystyle r={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}}

Der Satz von Schinzel gehört zur geometrischen Zahlentheorie und lautet wie folgt:

Für jede natürliche Zahl n {\displaystyle n} gibt es einen Kreis in der Ebene, der durch genau n {\displaystyle n} Gitter­punkte mit ganzzahligen Koordinaten verläuft. Diese Kreise haben die folgende Koordinatengleichung:
( x − 1 2 ) 2 + y 2 = 1 4 ⋅ 5 k − 1 {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}\cdot 5^{k-1}\quad } für gerade n {\displaystyle n} mit n = 2 k {\displaystyle n=2k}
( x − 1 3 ) 2 + y 2 = 1 9 ⋅ 5 2 k {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 5^{2k}\quad } für ungerade n {\displaystyle n} mit n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1}

Die so erhaltenen Kreise nennt man Schinzel-Kreise (auf Englisch Schinzel Circle).

Dieser Satz wurde vom polnischen Mathematiker Andrzej Schinzel im Jahr 1958 bewiesen.[1]

Beweis

Schinzel bewies diesen Satz wie folgt:[1][2]

  • Sei n {\displaystyle n} eine gerade Zahl, also n = 2 k {\displaystyle n=2k} . Dann hat der Kreis, der durch genau n {\displaystyle n} Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:
( x − 1 2 ) 2 + y 2 = 1 4 ⋅ 5 k − 1 {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}\cdot 5^{k-1}}
Dieser Kreis hat den Mittelpunkt M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\tfrac {1}{2}}/0)} und den Radius r = 1 2 ⋅ 5 k − 1 {\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5^{k-1}}}} .
Wenn man obige Kreisgleichung mit 4 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:
( 2 x − 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 = 5 k − 1 {\displaystyle (2x-1)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}}
Bei dieser Kreisgleichung wird 5 k − 1 {\displaystyle 5^{k-1}} als Summe zweier Quadrate dargestellt, wobei ( 2 x − 1 ) 2 {\displaystyle (2x-1)^{2}} als Quadrat einer ungeraden Zahl 2 x − 1 {\displaystyle 2x-1} sicherlich ungerade und ( 2 y ) 2 {\displaystyle (2y)^{2}} als Quadrat einer geraden Zahl 2 y {\displaystyle 2y} sicherlich gerade ist. Es gibt genau 4 k {\displaystyle 4k} Möglichkeiten, 5 k − 1 {\displaystyle 5^{k-1}} als Summe zweier Quadrate darzustellen, wegen der Symmetrie ist die Hälfte davon in der Form ungerade–gerade.
Beispiele
Beispiel 1: (siehe auch Grafik rechts)
Sei k = 2 {\displaystyle k=2} . Dann erhalten wir die folgenden 4 k 2 = 8 2 = 4 {\displaystyle {\frac {4k}{2}}={\frac {8}{2}}=4} Möglichkeiten, die Zahl 5 k − 1 = 5 1 = 5 {\displaystyle 5^{k-1}=5^{1}=5} in der Form ungerade–gerade darzustellen:
( ± 1 ) 2 + ( ± 2 ) 2 = 5 1 {\displaystyle (\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}=5^{1}} , also erhalten wir 2 x − 1 = ± 1 {\displaystyle 2x-1=\pm 1} und 2 y = ± 2 {\displaystyle 2y=\pm 2} . Formt man 2 x − 1 = ± 1 {\displaystyle 2x-1=\pm 1} um, so erhält man x 1 = 1 , x 2 = 0 {\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=0} und formt man 2 y = ± 2 {\displaystyle 2y=\pm 2} , so erhält man y 1 = 1 , y 2 = − 1 {\displaystyle y_{1}=1,y_{2}=-1} . Somit ergeben sich die vier Punkte P 1 ( 1 / 1 ) , P 2 ( 1 / − 1 ) , P 3 ( 0 / 1 ) , P 4 ( 0 / − 1 ) {\displaystyle P_{1}(1/1),P_{2}(1/-1),P_{3}(0/1),P_{4}(0/-1)} , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis mit n = 2 k = 4 {\displaystyle n=2k=4} geht.
Beispiel 2:
Sei k = 3 {\displaystyle k=3} . Dann erhalten wir die folgenden 4 k 2 = 12 2 = 6 {\displaystyle {\frac {4k}{2}}={\frac {12}{2}}=6} Möglichkeiten, die Zahl 5 k − 1 = 5 2 = 25 {\displaystyle 5^{k-1}=5^{2}=25} in der Form ungerade–gerade darzustellen:
Fall 1: ( ± 3 ) 2 + ( ± 4 ) 2 = 25 {\displaystyle (\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}=25} , also erhalten wir 2 x − 1 = ± 3 {\displaystyle 2x-1=\pm 3} und 2 y = ± 4 {\displaystyle 2y=\pm 4} . Formt man 2 x − 1 = ± 3 {\displaystyle 2x-1=\pm 3} um, so erhält man x 1 = 2 , x 2 = − 1 {\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1} und formt man 2 y = ± 4 {\displaystyle 2y=\pm 4} , so erhält man y 1 = 2 , y 2 = − 2 {\displaystyle y_{1}=2,y_{2}=-2} .
Somit ergeben sich die vier Punkte P 1 ( 2 / 2 ) , P 2 ( 2 / − 2 ) , P 3 ( − 1 / 2 ) , P 4 ( − 1 / − 2 ) {\displaystyle P_{1}(2/2),P_{2}(2/-2),P_{3}(-1/2),P_{4}(-1/-2)} , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 2: ( ± 5 ) 2 + ( ± 0 ) 2 = 25 {\displaystyle (\pm 5)^{2}+(\pm 0)^{2}=25} , also erhalten wir 2 x − 1 = ± 5 {\displaystyle 2x-1=\pm 5} und 2 y = 0 {\displaystyle 2y=0} . Formt man 2 x − 1 = ± 5 {\displaystyle 2x-1=\pm 5} um, so erhält man x 1 = 3 , x 2 = − 2 {\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=-2} und formt man 2 y = 0 {\displaystyle 2y=0} , so erhält man y 1 = y 2 = 0 {\displaystyle y_{1}=y_{2}=0} .
Somit ergeben sich die weiteren zwei Punkte P 5 ( 3 / 0 ) , P 6 ( − 2 / 0 ) {\displaystyle P_{5}(3/0),P_{6}(-2/0)} , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Insgesamt erhält man somit die gesuchten 6 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die der Schinzel-Kreis mit n = 2 k = 6 {\displaystyle n=2k=6} geht.
  • Sei n {\displaystyle n} eine ungerade Zahl, also n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1} . Dann hat der Kreis, der durch genau n {\displaystyle n} Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:
( x − 1 3 ) 2 + y 2 = 1 9 ⋅ 5 2 k {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 5^{2k}}
Dieser Kreis hat den Mittelpunkt M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\tfrac {1}{3}}/0)} und den Radius r = 1 3 ⋅ 5 k {\displaystyle r={\tfrac {1}{3}}\cdot 5^{k}} .
Wenn man obige Kreisgleichung mit 9 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:
( 3 x − 1 ) 2 + ( 3 y ) 2 = 5 2 k {\displaystyle (3x-1)^{2}+(3y)^{2}=5^{2k}}
Bei dieser Kreisgleichung wird 5 2 k {\displaystyle 5^{2k}} als Summe zweier Quadrate dargestellt.
Beispiel
Beispiel:
Sei k = 2 {\displaystyle k=2} . Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl 5 2 k = 5 4 = 625 {\displaystyle 5^{2k}=5^{4}=625} darzustellen:
Fall 1: ( ± 7 ) 2 + ( ± 24 ) 2 = 625 {\displaystyle (\pm 7)^{2}+(\pm 24)^{2}=625} , also erhalten wir 3 x − 1 = ± 7 {\displaystyle 3x-1=\pm 7} und 3 y = ± 24 {\displaystyle 3y=\pm 24} . Formt man 3 x − 1 = ± 7 {\displaystyle 3x-1=\pm 7} um, so erhält man x 1 = 8 3 , x 2 = − 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {8}{3}},x_{2}=-2} und formt man 3 y = ± 24 {\displaystyle 3y=\pm 24} , so erhält man y 1 = 8 , y 2 = − 8 {\displaystyle y_{1}=8,y_{2}=-8} .
Somit ergeben sich zwei Punkte P 1 ( − 2 / 8 ) , P 2 ( − 2 / − 8 ) {\displaystyle P_{1}(-2/8),P_{2}(-2/-8)} , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 2: ( ± 24 ) 2 + ( ± 7 ) 2 = 625 {\displaystyle (\pm 24)^{2}+(\pm 7)^{2}=625} , also erhalten wir 3 x − 1 = ± 24 {\displaystyle 3x-1=\pm 24} und 3 y = ± 7 {\displaystyle 3y=\pm 7} . Formt man 3 x − 1 = ± 24 {\displaystyle 3x-1=\pm 24} um, so erhält man x 1 = 25 3 , x 2 = − 23 3 {\displaystyle x_{1}={\frac {25}{3}},x_{2}=-{\frac {23}{3}}} und formt man 3 y = ± 7 {\displaystyle 3y=\pm 7} , so erhält man y 1 = 7 3 , y 2 = − 7 3 {\displaystyle y_{1}={\frac {7}{3}},y_{2}=-{\frac {7}{3}}} .
Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 3: ( ± 15 ) 2 + ( ± 20 ) 2 = 625 {\displaystyle (\pm 15)^{2}+(\pm 20)^{2}=625} , also erhalten wir 3 x − 1 = ± 15 {\displaystyle 3x-1=\pm 15} und 3 y = ± 20 {\displaystyle 3y=\pm 20} . Formt man 3 x − 1 = ± 15 {\displaystyle 3x-1=\pm 15} um, so erhält man x 1 = 16 3 , x 2 = − 14 3 {\displaystyle x_{1}={\frac {16}{3}},x_{2}=-{\frac {14}{3}}} und formt man 3 y = ± 20 {\displaystyle 3y=\pm 20} , so erhält man y 1 = 20 3 , y 2 = − 20 3 {\displaystyle y_{1}={\frac {20}{3}},y_{2}=-{\frac {20}{3}}} .
Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 4: ( ± 20 ) 2 + ( ± 15 ) 2 = 625 {\displaystyle (\pm 20)^{2}+(\pm 15)^{2}=625} , also erhalten wir 3 x − 1 = ± 20 {\displaystyle 3x-1=\pm 20} und 3 y = ± 15 {\displaystyle 3y=\pm 15} . Formt man 3 x − 1 = ± 20 {\displaystyle 3x-1=\pm 20} um, so erhält man x 1 = 7 , x 2 = − 19 3 {\displaystyle x_{1}=7,x_{2}=-{\frac {19}{3}}} und formt man 3 y = ± 15 {\displaystyle 3y=\pm 15} , so erhält man y 1 = 5 , y 2 = − 5 {\displaystyle y_{1}=5,y_{2}=-5} .
Somit ergeben sich zwei Punkte P 3 ( 7 / 5 ) , P 4 ( 7 / − 5 ) {\displaystyle P_{3}(7/5),P_{4}(7/-5)} , die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
Fall 5: ( ± 25 ) 2 + ( ± 0 ) 2 = 625 {\displaystyle (\pm 25)^{2}+(\pm 0)^{2}=625} , also erhalten wir 3 x − 1 = ± 25 {\displaystyle 3x-1=\pm 25} und 3 y = 0 {\displaystyle 3y=0} . Formt man 3 x − 1 = ± 25 {\displaystyle 3x-1=\pm 25} um, so erhält man x 1 = 26 3 , x 2 = − 8 {\displaystyle x_{1}={\frac {26}{3}},x_{2}=-8} und formt man 3 y = 0 {\displaystyle 3y=0} , so erhält man y 1 = y 2 = 0 {\displaystyle y_{1}=y_{2}=0} .
Somit ergibt sich nur ein weiterer Punkt P 5 ( − 8 / 0 ) {\displaystyle P_{5}(-8/0)} , der ganzzahlige Koordinaten hat und durch den der Schinzel-Kreis geht.
Fall 6: ( ± 0 ) 2 + ( ± 25 ) 2 = 625 {\displaystyle (\pm 0)^{2}+(\pm 25)^{2}=625} , also erhalten wir 3 x − 1 = 0 {\displaystyle 3x-1=0} und 3 y = ± 25 {\displaystyle 3y=\pm 25} . Formt man 3 x − 1 = 0 {\displaystyle 3x-1=0} um, so erhält man x 1 = x 2 = 1 3 {\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {1}{3}}} und man erhält sicherlich keine ganzzahligen Koordinaten.
Insgesamt erhält man somit die gesuchten 5 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten ( P 1 ( − 2 / 8 ) , P 2 ( − 2 / − 8 ) , P 3 ( 7 / 5 ) , P 4 ( 7 / − 5 ) , P 5 ( − 8 / 0 ) ) {\displaystyle (P_{1}(-2/8),P_{2}(-2/-8),P_{3}(7/5),P_{4}(7/-5),P_{5}(-8/0))} , durch die der Schinzel-Kreis mit n = 2 k + 1 = 5 {\displaystyle n=2k+1=5} geht.

Eigenschaften

Die Kreise, die Schinzel mit obiger Methode erzeugt hat, sind nicht unbedingt die kleinstmöglichen Kreise, die durch die gegebene Anzahl ganzzahliger Punkte verlaufen.[3] Sie haben aber den Vorteil, dass sie durch eine explizite Formel beschrieben werden können.[2]

Beispiel
Beispiel:
  • Sei n = 2 ⋅ 4 + 1 = 9 {\displaystyle n=2\cdot 4+1=9} . Dann ist k = 4 {\displaystyle k=4} und der Schinzel-Kreis hat die folgende Darstellung:
( x − 1 3 ) 2 + y 2 = 1 9 ⋅ 5 8 {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 5^{8}\quad } mit Mittelpunkt M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} und Radius r = 1 3 ⋅ 5 4 = 625 3 ≈ 208 , 33 {\displaystyle r={\frac {1}{3}}\cdot 5^{4}={\frac {625}{3}}\approx 208{,}33}
Es ist 0 2 + 625 2 = 175 2 + 600 2 = 220 2 + 585 2 = 336 2 + 527 2 = 375 3 + 500 2 = 625 2 {\displaystyle 0^{2}+625^{2}=175^{2}+600^{2}=220^{2}+585^{2}=336^{2}+527^{2}=375^{3}+500^{2}=625^{2}}
Mit obiger Methode erhält man die folgenden Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten), durch die der Schinzel-Kreis mit n = 2 ⋅ 4 + 1 = 9 {\displaystyle n=2\cdot 4+1=9} geht. Sie liegen bezüglich der x-Achse symmetrisch:
P 1 ( − 208 / 0 ) , P 2 ( − 73 / 195 ) , P 3 ( − 73 / − 195 ) , P 4 ( − 58 / 200 ) , P 5 ( − 58 / − 200 ) , P 6 ( 167 / 125 ) , P 7 ( 167 / − 125 ) , P 8 ( 176 / 112 ) , P 9 ( 176 / − 112 ) {\displaystyle P_{1}(-208/0),P_{2}(-73/195),P_{3}(-73/-195),P_{4}(-58/200),P_{5}(-58/-200),P_{6}(167/125),P_{7}(167/-125),P_{8}(176/112),P_{9}(176/-112)}
  • Es gibt aber einen kleineren Kreis, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht und denselben Mittelpunkt M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} hat:[3]
( x − 1 3 ) 2 + y 2 = 1 9 ⋅ 65 2 {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 65^{2}\quad } mit Mittelpunkt M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} und Radius r = 1 3 ⋅ 65 = 65 3 ≈ 21 , 67 {\displaystyle r={\frac {1}{3}}\cdot 65={\frac {65}{3}}\approx 21{,}67}
Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die ebenfalls bezüglich der x-Achse symmetrisch liegen:
P 1 ( − 17 / 13 ) , P 2 ( − 17 / − 13 ) , P 3 ( − 8 / 20 ) , P 4 ( − 8 / − 20 ) , P 5 ( − 5 / 21 ) , P 6 ( − 5 / − 21 ) , P 7 ( 19 / 11 ) , P 8 ( 19 / − 11 ) , P 9 ( 22 / 0 ) {\displaystyle P_{1}(-17/13),P_{2}(-17/-13),P_{3}(-8/20),P_{4}(-8/-20),P_{5}(-5/21),P_{6}(-5/-21),P_{7}(19/11),P_{8}(19/-11),P_{9}(22/0)}
  • Der tatsächlich kleinste Kreis aber, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, ist der folgende:[4]
( x − 1 6 ) 2 + ( y − 1 6 ) 2 = 4225 18 {\displaystyle \left(x-{\frac {1}{6}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {1}{6}}\right)^{2}={\frac {4225}{18}}\quad } mit Mittelpunkt M ( 1 6 / 1 6 ) {\displaystyle M({\frac {1}{6}}/{\frac {1}{6}})} und Radius r = 4225 18 = 65 3 ⋅ 2 = 65 6 ⋅ 2 ≈ 15 , 32 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {4225}{18}}}={\frac {65}{3\cdot {\sqrt {2}}}}={\frac {65}{6}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 15{,}32}
Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die nicht symmetrisch bezüglich der x-Achse sind:
P 1 ( − 15 / − 2 ) , P 2 ( − 14 / 6 ) , P 3 ( − 13 / 8 ) , P 4 ( − 2 / − 15 ) , P 5 ( 4 / 15 ) , P 6 ( 6 / − 14 ) , P 7 ( 8 / − 13 ) , P 8 ( 11 / 11 ) , P 9 ( 15 / 4 ) {\displaystyle P_{1}(-15/-2),P_{2}(-14/6),P_{3}(-13/8),P_{4}(-2/-15),P_{5}(4/15),P_{6}(6/-14),P_{7}(8/-13),P_{8}(11/11),P_{9}(15/4)}

Vergleich Schinzel-Kreise – kleinstmögliche Kreise

Die folgende Tabelle gibt für 4 ≤ n ≤ 12 {\displaystyle 4\leq n\leq 12} die mit obiger Formel berechneten Schinzelkreise an und vergleicht sie mit den tatsächlich kleinsten Kreisen, die durch n {\displaystyle n} Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gehen:[4]

n k Schinzel-Kreis kleinstmöglicher Kreis
Mittelpunkt M {\displaystyle M} Radius r {\displaystyle r} Mittelpunkt M {\displaystyle M} Radius r {\displaystyle r}
4 2 M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 5 2 ≈ 1 , 12 {\displaystyle r={\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1{,}12} M ( 1 2 / 1 2 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}})} r = 1 2 = 2 2 ≈ 0 , 71 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0{,}71}
5 2 M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} r = 25 3 ≈ 8 , 33 {\displaystyle r={\frac {25}{3}}\approx 8{,}33} M ( 1 6 / 1 6 ) {\displaystyle M({\frac {1}{6}}/{\frac {1}{6}})} r = 625 18 = 25 6 ⋅ 2 ≈ 5 , 89 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {625}{18}}}={\frac {25}{6}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 5{,}89}
6 3 M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 25 2 = 5 2 = 2 , 5 {\displaystyle r={\frac {\sqrt {25}}{2}}={\frac {5}{2}}=2{,}5} M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 5 2 = 2 , 5 {\displaystyle r={\frac {5}{2}}=2{,}5}
7 3 M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} r = 125 3 ≈ 41 , 67 {\displaystyle r={\frac {125}{3}}\approx 41{,}67} M ( 9 22 / 5 22 ) {\displaystyle M({\frac {9}{22}}/{\frac {5}{22}})} r = 138125 242 = 25 11 ⋅ 221 2 ≈ 23 , 89 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {138125}{242}}}={\frac {25}{11}}\cdot {\sqrt {\frac {221}{2}}}\approx 23{,}89}
8 4 M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 125 2 = 5 2 ⋅ 5 ≈ 5 , 59 {\displaystyle r={\frac {\sqrt {125}}{2}}={\frac {5}{2}}\cdot {\sqrt {5}}\approx 5{,}59} M ( 1 2 / 1 2 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}})} r = 5 2 = 10 2 ≈ 1 , 58 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {5}{2}}}={\frac {\sqrt {10}}{2}}\approx 1{,}58}
9 4 M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} r = 625 3 ≈ 208 , 33 {\displaystyle r={\frac {625}{3}}\approx 208{,}33} M ( 1 6 / 1 6 ) {\displaystyle M({\frac {1}{6}}/{\frac {1}{6}})} r = 4225 18 = 65 6 ⋅ 2 ≈ 15 , 32 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {4225}{18}}}={\frac {65}{6}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 15{,}32}
10 5 M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 625 2 = 25 2 = 12 , 5 {\displaystyle r={\frac {\sqrt {625}}{2}}={\frac {25}{2}}=12{,}5} M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 25 2 = 12 , 5 {\displaystyle r={\frac {25}{2}}=12{,}5}
11 5 M ( 1 3 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{3}}/0)} r = 3125 3 ≈ 1041 , 67 {\displaystyle r={\frac {3125}{3}}\approx 1041{,}67} M ( 5 22 / 3 22 ) {\displaystyle M({\frac {5}{22}}/{\frac {3}{22}})} r = 801125 242 = 5 11 ⋅ 32045 2 ≈ 57 , 54 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {801125}{242}}}={\frac {5}{11}}\cdot {\sqrt {\frac {32045}{2}}}\approx 57{,}54}
12 6 M ( 1 2 / 0 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/0)} r = 3125 2 = 25 2 ⋅ 5 = 27 , 95 {\displaystyle r={\frac {\sqrt {3125}}{2}}={\frac {25}{2}}\cdot {\sqrt {5}}=27{,}95} M ( 1 2 / 1 2 ) {\displaystyle M({\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}})} r = 25 2 = 5 2 ⋅ 2 ≈ 3 , 54 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {25}{2}}}={\frac {5}{2}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 3{,}54}

Wie man erkennen kann, ist für n = 6 {\displaystyle n=6} und n = 10 {\displaystyle n=10} der Schinzel-Kreis tatsächlich der kleinstmögliche Kreis. Für n = 9 {\displaystyle n=9} und n = 11 {\displaystyle n=11} ist der Schinzel-Kreis um ein Vielfaches größer als der kleinstmögliche Kreis mit n {\displaystyle n} Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.

  • Eric W. Weisstein: Schinzel Circle. In: MathWorld (englisch).
  • Eric W. Weisstein: Schinzel's Theorem. In: MathWorld (englisch).
  • Eric W. Weisstein: Circle Lattice Points. In: MathWorld (englisch).
  • Ed Pegg Jr.: Lattice Circles, März 2011

Einzelnachweise

  1. ↑ a b Andrzej Schinzel: Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières. Enseign. Math. (2) 4, 1958, S. 71–72, abgerufen am 30. Mai 2024. 
  2. ↑ a b Ross Honsberger: Mathematical Gems I: Dolciani Mathematical Expositions, vol. 1: Schinzel's theorem. Mathematical Association of America, 1973, S. 118–121, abgerufen am 30. Mai 2024. 
  3. ↑ a b Eric W. Weisstein: Schinzel Circle. In: MathWorld (englisch).
  4. ↑ a b Ed Pegg Jr.: Lattice Circles, März 2011