Die Rodrigues-Formel, benannt nach Olinde Rodrigues, ist eine Formel für die Exponentialfunktion einer antisymmetrischen 3×3-Matrix, welche in Matrixform ein Kreuzprodukt beschreibt. Sie lautet:
![{\displaystyle \exp([a]_{\times })=I+\sin(\|a\|){\begin{bmatrix}{\dfrac {a}{\|a\|}}\end{bmatrix}}_{\times }+(1-\cos(\|a\|)){\begin{bmatrix}{\dfrac {a}{\|a\|}}\end{bmatrix}}_{\times }^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10a44c1feea1f768e52f12929faf2bddd3e179d)
Dabei bezeichnet
die 3×3-Einheitsmatrix.
Ihre Hauptanwendung liegt darin, dass das Ergebnis eine Drehung um die Achse
mit Winkel
als Matrix beschreibt.
Herleitung
Die Exponentialfunktion lässt sich in eine unendliche Reihe, die für alle Werte aus
absolut konvergiert, darstellen als:
![{\displaystyle \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4df8ba87e23ae6fb5a7a94d2f41d1ff7da1fdcf)
Die Gleichung kann auch für beliebige quadratische Matrizen angewendet werden. Eine, die sich wegen ihrer besonderen Eigenschaften dafür eignet ist die Matrix des Kreuzproduktes. Sie lautet für den dreidimensionalen, reellen Raum
:
![{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\qquad [a]_{\times }={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1f6d5be0a520c415dd5d1bdc1a7d87113bdb8b)
Durch Ausmultiplizieren erhält man folgende Formel:
,
wobei
die Länge des Vektors
ist. Das bedeutet, dass man Potenzen der Matrix
stets auf Potenzen mit Exponenten kleiner 3 reduzieren kann. Daher sind diese Matrizen für das Einsetzen in Potenzreihen geeignet.
Für Sinus und Cosinus gibt es ebenfalls Taylorentwicklungen. Sie lauten:
![{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3893d0dcf5131ac6beee710c6bfc2df4ba734a5c)
![{\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa4cbfd4535ff233e9355a56cd0b440fafcfd25)
Diese Gleichungen können kombiniert werden: Terme mit geradem Exponenten können durch die Cosinus-Entwicklung und Terme mit ungeradem Exponenten durch die Sinus-Entwicklung ersetzt werden. Nach einigen Vereinfachungen erhält man die Rodrigues-Gleichung.
Eigenschaften
Sei
. Dann gilt:
![{\displaystyle R(-a)\,=\,R(a)^{-1}\,=\,R(a)^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4cab776b20d20a09f3ea4162fe46fdb16c97a0)
![{\displaystyle R(a)\cdot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8b3c9e2eaca80c09fbb08b4a5ef26389a3051d)
Anwendung
Vor allem in der Robotik und in der Computergrafik spielt die Rodrigues-Formel eine Rolle. Es existiert immer ein Koordinatensystem, definiert durch
, in dem für einen Vektor
gilt:
![{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\alpha \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4db1d6daab32957e778b558f996509c6704237f)
Das bedeutet, dass die Matrix
eine Rotation um die Achse
repräsentiert. Der Drehwinkel ist dabei
, also die Länge des Vektors.
Literatur
- M. E. H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press, Cambridge UK 2005, ISBN 0-521-78201-5.
- O. Faugeras: Three-Dimensional Computer Vision - A Geometric Viewpoint. MIT Press, Cambridge MA 1993, ISBN 0-262-06158-9.