Als Quantengruppe bezeichnet man in der mathematischen Gruppentheorie eine bestimmte Gattung von Hopf-Algebren, nämlich Quantisierungen (d. h. nicht-triviale Deformationen) der einhüllenden Hopf-Algebren von halbeinfachen Lie-Algebren. Alternativ kann man Quantengruppen als Deformationen von der Algebra der regulären Funktionen auf algebraischen Gruppen betrachten.
Der Begriff wurde im Rahmen der International Congress of Mathematicians 1986 in Berkeley von dem ukrainisch-US-amerikanischen Mathematiker Vladimir Drinfeld geprägt. Unabhängig von ihm wurden sie um die gleiche Zeit von dem japanischen Mathematiker Michio Jimbō gefunden.
Beispiel
Die einfachste Quantengruppe ist
. Dies ist die Algebra, die von den Variablen
,
,
und
erzeugt wird und in der die Relationen
,
,
, ![{\displaystyle [E,F]={\frac {K-K^{-1}}{q-q^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58ef7f47d1467c8908dd697a6260acc5149262f)
gelten.
Die Hopfalgebra-Struktur ist gegeben durch
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
und
sind folglich schiefprimitiv, und
und
sind gruppenartig.
Universelle einhüllende Algebra
ist in dieser Form nicht definiert, da man dabei durch 0 teilen müsste. Es ist jedoch möglich, die Definition mit Hilfe einer weiteren Variable
so zu formulieren, dass dies möglich ist.
,
,
, ![{\displaystyle [E,F]=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dfd46651ef044658ce9679ba0ef8d3fbd870b5)
![{\displaystyle (q-q^{-1})L=K-K^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63d12ae94ba94e8d5941451a530cb174930150f)
![{\displaystyle [L,E]=q(EK+K^{-1}E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec6408d3754ab58d29140af95f90920b41c1cb5)
![{\displaystyle [L,F]=-q^{-1}(FK+K^{-1}F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a589fb2e732c75a0166c78343bce145eea0760)
In dieser Form ist
wohldefiniert und hängt eng mit der universellen einhüllenden Algebra
zusammen. Es gilt nämlich
,
wobei
auf
,
auf
und
auf
abgebildet wird.
Literatur
- Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-94370-6 (englisch)