Quandle

Ein Quandle ist in der Mathematik eine algebraische Struktur, die vor allem in der Knotentheorie Anwendung findet.

Ein Quandle ist eine Menge ${\displaystyle Q}$ mit einer Operation ${\displaystyle \triangleright }$, so dass für alle ${\displaystyle x,y,z\in Q}$ gilt:

(i) ${\displaystyle x\triangleright x=x}$

(ii) die durch ${\displaystyle f_{y}(x)=x\triangleright y}$ definierte Abbildung ${\displaystyle f_{y}\colon Q\to Q}$ ist eine Bijektion

(iii) ${\displaystyle (x\triangleright y)\triangleright z=(x\triangleright z)\triangleright (y\triangleright z)}$.

Bedingung (iii) heißt Selbstdistributivität.

Weil ${\displaystyle f_{y}}$ eine Bijektion ist, gibt es eine inverse Abbildung ${\displaystyle f_{y}^{-1}\colon Q\to Q}$. Die Operation ${\displaystyle \triangleright ^{-1}}$ wird für ${\displaystyle x,y\in Q}$ durch

${\displaystyle x\triangleright ^{-1}y:=f_{y}^{-1}(x)}$

definiert.

Die Quandle-Operationen lassen sich mittels der Reidemeister-Bewegungen von Knotendiagrammen interpretieren:

• 
  Reidemeister I
• 
  Reidemeister II
• 
  Reidemeister III

• Jede abelsche Gruppe ${\displaystyle A}$ ist ein Quandle mit der Operation

${\displaystyle x\triangleright y=2y-x}$.

• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ definiert man den Quandle ${\displaystyle Conj_{n}(G)}$ als die Menge ${\displaystyle G}$ mit der Operation

${\displaystyle x\triangleright y=y^{-n}xy^{n}}$.

• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ definiert man den Quandle ${\displaystyle Core(G)}$ als die Menge ${\displaystyle G}$ mit der Operation

${\displaystyle x\triangleright y=yx^{-1}y}$.

• Jeder ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[t^{\pm 1}\right]}$-Modul ist ein Quandle mit der Operation

${\displaystyle x\triangleright y=tx+(1-t)y}$.

Diese Quandle werden als Alexander-Quandle bezeichnet.

• Der Fundamentalquandle eines Knotens (oder allgemeiner einer Verschlingung) ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ist definiert wie folgt. Sei ${\displaystyle X_{K}=S^{3}\setminus int(N(K))}$ das Komplement einer regulären Umgebung und ${\displaystyle x_{0}\in \partial X_{K}}$. Definiere

${\displaystyle Q(K)=\pi _{1}(C(K),\partial C(K),x_{0})}$

mit der (wohldefinierten) Verknüpfung

${\displaystyle \left[\gamma _{1}\right]\triangleright \left[\gamma _{2}\right]=\left[\gamma _{2}\circ m_{\gamma _{2}(1)}\circ \gamma _{2}^{-1}\circ \gamma _{1}\right]}$,

wobei ${\displaystyle m_{\gamma _{2}(1)}}$ den Meridian durch ${\displaystyle \gamma _{2}(1)}$ bezeichnet.

• David Joyce: A classifying invariant of knots, the knot quandle. J. Pure Appl. Algebra 23 (1982), no. 1, 37–65.
• Sergei Matwejew: Distributive groupoids in knot theory. (russisch) Mat. Sb. (N.S.) 119(161) (1982), no. 1, 78–88, 160.

• Scott Carter: A Survey of Quandle Ideas