Die punktweise Konvergenz ist in der Analysis ein Konvergenzbegriff für Funktionenfolgen. Eine Funktionenfolge
konvergiert punktweise gegen eine Funktion
wenn für alle Stellen ("Punkte")
aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Folge
gegen
konvergiert.
Definition
Gegeben sei eine Funktionenfolge
,
. Die Funktionenfolge heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion
, wenn für alle
gilt
.
Man schreibt dann
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f{\text{ punktweise}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ee4b13bf4f0f5fd5408c75214249c2bc017790)
oder
.
Formal konvergiert
also genau dann punktweise gegen
, wenn
,
das heißt, es muss für jedes
und für jedes
eine natürliche Zahl
geben, so dass für alle
gilt:
.
Beispiel
Zum Beispiel konvergiert die Folge
mit
![{\displaystyle f_{n}\colon x\mapsto x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715eeea1a9b1cec963108a645a4d346a89107ed4)
im Intervall
punktweise gegen die Funktion
mit
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&0\leq x<1,\\1,&x=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0471b4673ce88fd09f20935d9d2ad753434617a5)
denn offenbar gilt
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n}=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in [0,1){\text{ und }}\lim _{n\to \infty }1^{n}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b6ac1b106eee90ce7835fdca698cc62c311d74)
Abgrenzung
Es ist allerdings zu beachten, dass punktweise Konvergenz nicht gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz ist, da z. B. das oben genannte Beispiel zwar punktweise, keineswegs aber gleichmäßig konvergiert (so ist jedes Glied der Folge überall stetig differenzierbar, die Grenzfunktion allerdings nicht einmal stetig): Gleichmäßige Konvergenz ist eine wesentlich stärkere Aussage.
Eine Abschwächung der punktweisen Konvergenz ist die punktweise Konvergenz μ-fast überall.
Für punktweise Konvergenz müssen die Werte der Funktionen
nicht unbedingt reelle Zahlen sein, sie können Elemente irgendeines topologischen Raumes sein.
Siehe auch
Literatur